Содержание:

Формула

$$\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a$$

Производная показательной функции равна произведению этой функции на натуральный логарифм основания степени.

Заметим, что если аргумент у показательной функции есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$), то производную нужно находить по следующей формуле:

$$\left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u} \ln a \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной показательной функции

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2_{x}$

Решение. Согласно формуле имеем:

$$y^{\prime}(x)=\left(2^{x}\right)^{\prime}=2^{x} \ln 2$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2$

Слишком сложно?

Производная показательной функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=3 \cdot \pi^{x}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=\left(3 \cdot \pi^{x}\right)^{\prime}$$

Константу выносим за знак производной, а производную от показательной функции находим по формуле:

$$y^{\prime}(x)=3 \cdot\left(\pi^{x}\right)^{\prime}=3 \pi^{x} \ln \pi$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=3 \pi^{x} \ln \pi$

Читать дальше: производная суммы (u+v)'.