Содержание:
Определение
Скалярную физическую величину, (обычно обозначаемую R) равную:
$$R=\int_{1}^{2} \rho \frac{d l}{S}(1)$$называют сопротивлением участка цепи между сечениями 1 и 2. В выражении (1) имеем $\rho$ – удельное сопротивление проводника, S – площадь поперечного сечения проводника, dl - элемент длины проводника.
Если проводник является однородным ($\rho$=const) и имеет форму цилиндра (S=const), то формула (1) может быть представлена как:
$$R=\rho \frac{l}{S}(2)$$где l – длина участка рассматриваемого проводника.
Надо отметить, что удельное сопротивление проводника ($\rho$) – это сопротивление проводника единичной длины с поперечным сечением равным единице. Или иначе говорят, что удельное сопротивление вещества – это сопротивление куба с ребром 1 м изготовленного из рассматриваемого вещества, которое выражено в Ом, при токе, который параллелен ребру куба. Величина обратная удельному сопротивлению:
$$\sigma=\frac{1}{\rho}(3)$$называется удельной проводимостью. Измеряется удельное сопротивление в системе СИ в [$\rho$]=Ом•м. Эта характеристика проводника зависит от температуры, в простейшем случае эта зависимость может быть линейна:
$$\rho=\rho_{0}(1+\alpha t)(4)$$где $\rho_{0}$ – удельное сопротивление проводника при температуре равной 0C, t - температура в градусах Цельсия, $\alpha=\frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{d T}$ – температурный коэффициент сопротивления, который показывает относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус, $\alpha$ может быть положительным и отрицательным. Для металлов $\alpha$>0.
При последовательном сопротивлении проводников суммарное сопротивление (R) вычисляется как сумма отдельных сопротивлений (Ri):
$$R=\sum_{i=1}^{n} R_{i}(5)$$Если проводники соединены параллельно, то складываются величины обратные к сопротивлениям:
$$\frac{1}{R}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}}(6)$$Основной единицей измерения сопротивления в системе СИ является: [R]=Ом
1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на его концах 1В устанавливается ток 1 А.
Пример
Задание. Проводящий шар, имеющий радиус А окружён тонкой проводящей оболочкой радиуса B (рис.1). Пространство между телами заполнено однородным и изотропным веществом, удельное сопротивление которого $\rho$. Каково сопротивление пространства между электродами?
Решение. За основу решения задачи примем формулу:
$$R=\int_{1}^{2} \rho \frac{d l}{S}(1.1)$$где положим:
$$d l=d r ; S=4 \pi r^{2}(1.2)$$Интегрирование выражения (1.1) проведем от A до B:
$$R=\int_{A}^{B} \rho \frac{d r}{4 \pi r^{2}}=-\left.\frac{\rho}{4 \pi} \frac{1}{r}\right|_{A} ^{B}=\frac{\rho}{4 \pi} \cdot \frac{B-A}{B \cdot A}$$Ответ. $R=\frac{\rho}{4 \pi} \cdot \frac{B-A}{B \cdot A}$
Пример
Задание. Какое количество витков проволоки (n) (удельное сопротивление ее равно $\rho$=100 мк Ом•м, диаметр d=1 см) требуется накрутить на фарфоровый цилиндр, имеющий радиус A=1 см, для того чтобы получить сопротивление R=8 Ом?
Решение. Основой для решения задачи будет формула для сопротивления вида:
$$R=\rho \frac{l}{S}(2.1)$$Длину одного витка проволоки можно вычислить как:
$$l_{1}=2 \pi \cdot A(2.2)$$Следовательно, длина всей проволоки (l) равна:
$$l=n \cdot 2 \pi \cdot A(2.3)$$Площадь поперечного сечения проволоки (S):
$$S=\pi \frac{d^{2}}{4}(2.4)$$Подставим (2.4), (2.3) в выражение (2.1)
$$R=\rho \frac{n \cdot 2 \pi \cdot A}{\pi \frac{d^{2}}{4}}=8 \rho \frac{n \cdot A}{d^{2}}(2.5)$$Из формулы (2.6) получим искомое число витков:
$$n=\frac{R d^{2}}{8 \rho A}$$Переведем единицы всех величин из данных задачи в систему СИ, имеем: $\rho$=100 мк Ом•м=100•10-6 Ом•м,d=1 см=10-2 м, A=1 см=10-2 м проведем вычисления:
$$n=\frac{8 \cdot\left(10^{-2}\right)^{2}}{8 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-2}}=100$$Ответ. n=100
Читать дальше: Формула внутренней энергии.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
