Прямолинейное равноускоренное движение, теория и онлайн калькуляторы

Прямолинейное равноускоренное движение

Прямолинейное движение

Пусть в некоторой системе отсчета материальная точка движется по прямой линии. В этом случае одну из осей координат обычно направляют по траектории движения частицы. Направим ось абсцисс (X) вдоль траектории движения точки. Тогда в каждый момент времени перемещающаяся точка имеет определенную координату ($x$), которая является функцией времени ($x=x(t)$). Вид этой функции называют законом движения точки.

Закон движения может быть записан аналитически (при помощи формулы) или задан графически (с помощью графика).

Определение

И так, прямолинейным движением материальной точки называют движение, при котором эта точка имеет в качестве траектории прямую.

Равноускоренное движение

Любое неравномерное движение называют переменным.

Если при прямолинейном движении величина скорости увеличивается, а ускорение постоянно, то его называют равноускоренным прямолинейным движением. Для описания такого движения можно обойтись одной координатной осью, например X. Два уравнения позволяют решать любые задачи связанные с равноускоренным прямолинейным движением:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_{0x}+a_xt\ \left(1\right). \\ x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\left(2\right), \end{array} \right.\]

где $v_{0x}$- проекция начальной скорости на ось X; $v_x$ - проекция скорости на ось X в момент времени $t$; $x_0$ - координата в момент начала наблюдений; $a_x$ - проекция вектора ускорения на ось X.

Перемещение и путь при прямолинейном равноускоренном движении

Проекция перемещения тела, движущегося прямолинейно по оси X равно:

\[\Delta x=x-x_0\left(3\right).\]

Из уравнения (1.3) следует, что:

\[\Delta x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\left(4\right).\]

Так как при рассматриваемом нами движении скорость материальной точки не изменяет направления, то путь ($s$) будет равен величине перемещения:

\[s=\left|\Delta x\right|=\left|v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\right|\left(5\right).\]

Средняя скорость при прямолинейном равноускоренном движении

Выразим из формулы (1) ускорения движения точки:

\[a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}\left(6\right).\]

Подставим это ускорение в (4) имеем:

\[\Delta x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}t\to \frac{\Delta x}{t}=\frac{v_x+v_{0x}}{2}\left(7\right).\]

Величина $\frac{\Delta x}{t}$ является проекцией средней скорости на ось X:

\[{\left\langle v\right\rangle }_x=\frac{\Delta x}{t}\left(8\right).\]

Мы получили, что средняя скорость при прямолинейном равноускоренном движении материальной точки по оси X равна:

\[{\left\langle v\right\rangle }_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}\left(9\right).\]

Если при прямолинейном равноускоренном движении направление скорости не изменяется, то средняя величина скорости равна половине суммы модулей начальной ($v_0$) и конечной ($v$) скоростей:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{v_0+v}{2}\left(10\right).\]

Формулы удобные в решении многих задач на равноускоренное прямолинейное движение:

Перемещение материальной точки при равноускоренном движении по прямой X:

\[\Delta x=\frac{v^2_x-v^2_{0x}}{2a_x}\left(11\right).\] \[v^2_x=v^2_{0x}+2a_x\Delta x\ \left(12\right).\]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Запишите векторные формулы при $\overline{a}=const$ для скорости и радиус - вектора ($\overline{r}$), который определят положение материальной точки в пространстве.

Решение: Из определения скорости ($\overline{v}$) как производной радиус- вектора $\overline{r}$ по времени:

\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}\ }{dt}(1.1)\]

следует, что приращение ($\Delta \overline{r}$) радиус - вектора $\overline{r}\left(t\right)$ за промежуток времени $\Delta t=t-0\ (c)$ можно найти как:

\[\Delta \overline{r}=\overline{r}-{\overline{r}}_0=\int\limits^t_0{\overline{v}dt}\left(1.2\right).\]

При равноускоренном движении:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t(1.3)\]

при вычислении интеграла (1.2) получаем:

\[\Delta \overline{r}=\overline{r}-{\overline{r}}_0=\int\limits^t_0{\left({\overline{v}}_0+\overline{a}t\right)dt}={\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\left(1.4\right),\]

следовательно:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}.\]

Из определения ускорения:

\[\overline{a}=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(1.5\right),\]

приращение скорости равно:

\[\Delta \overline{v}=\overline{v}-{\overline{v}}_0=\int\limits^t_0{\overline{a}dt}\left(1.6\right).\]

При $\overline{a}=const$ из интеграла (1.6), получаем:

\[\Delta \overline{v}=\overline{v}-{\overline{v}}_0=\overline{a}\int\limits^t_0{dt}=\overline{a}t\to \overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\left(1.7\right)\]    
Пример 2

Задание: Маленький шарик скатывается равноускоренно по наклонной плоскости. Каким будет график зависимости его координаты от времени?

Решение: Допустим, что шарик начинает движение из состояния покоя ($v_0=0$). Шарик будем принимать за материальную точку. Начало координат выберем в точке начала движения (рис.1). Ось X направим по движению точки.

Прямолинейное равноускоренное движение, пример 1

Уравнение изменения координаты $x$ запишем уравнением:

\[x=\frac{at^2}{2}\left(2.1\right).\]

Графиком координаты будет парабола рис. 2. с вершиной в точке О.

Прямолинейное равноускоренное движение, пример 2

Ответ:График изменения координаты при прямолинейном равноускоренном движении - парабола.

   

Читать дальше: путь и перемещение.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 464 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!