Путь и перемещение, теория и онлайн калькуляторы

Путь и перемещение

При своем движении материальная точка описывает некоторую линию, которую называют ее траекторией движения. Траектория может быть прямой линией, а может представлять собой кривую.

Путь

Определение

Путь - длина участка траектории, который прошла материальная точка за рассматриваемый отрезок времени. Путь - это скалярная величина.

При прямолинейном движении в одном направлении пройденный путь ($\Delta s$) равен модулю изменения координаты тела. Так, если тело двигалось по оси X, то путь можно найти как:

\[\Delta s=\left|x_2-x_1\right|\left(1\right),\]

где $x_1$ - координата начального положения тела; $x_2$ - конечная координата тела.

Его можно вычислить, если известен модуль скорости ($v=v_x$):

\[\Delta s=vt\ \left(2\right),\]

где $t$ - время движения тела.

Графиком, который отображает зависимость пути от времени при равномерном прямолинейном движении, является прямая (рис.1). С увеличением величины скорости увеличивается угол наклона прямой относительно оси времени.

Путь и перемещение, рисунок 1

Если по графику $\Delta s(t)$ необходимо найти путь, который проделало тело за время $t_1$, то из точки $t_1$ на оси времени проводят перпендикуляр до пересечения с графиком $\Delta s(t)$. Затем из точки пересечения восстанавливают перпендикуляр к оси $\Delta s$. На пересечении оси и перпендикуляра получают точку ${\Delta s}_1$, которая соответствует пройденному пути за время от $t=0\ c$ до $t_1$.

Путь не бывает меньше нуля и не может уменьшаться при движении тела.

Перемещение

Определение

Перемещением называют вектор, который проводят из начального положения движущейся материальной точки в ее конечное положение:

\[\Delta \overline{r}=\overline{r\ }\left(t+\Delta t\right)-\overline{r\ }\left(t\right)\left(3\right).\]

Вектор перемещения численно равен расстоянию между конечной и начальной точками и направлен от начальной точки к конечной.

Приращение радиус-вектора материальной точки - это перемещение ($\Delta \overline{r}$).

Путь и перемещение, рисунок 2

В декартовой системе координат радиус-вектор точки представляют в виде:

\[\overline{r\ }\left(t\right)=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(4\right),\]

где $\overline{i}$, $\overline{j}$,$\ \overline{k}$ - единичные орты осей X,Y,Z. Тогда $\Delta \overline{r}$ равен:

\[\Delta \overline{r}=\left[x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)\right]\overline{i}+\left[y\left(t+?t\right)-y\left(t\right)\right]\overline{j}+\left[z\left(t+?t\right)-z\left(t\right)\right]\overline{k}\left(5\right).\]

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина вектора перемещения равна пройденному точкой пути:

\[\left|\Delta \overline{r}\right|=\Delta s\ \left(6\right).\]

Длину вектора перемещения (как и любого вектора) можно обозначать как $\left|\Delta \overline{r}\right|$ или просто $\Delta r$ (без указания стрелки).

Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения векторов:

\[\Delta \overline{r}=\Delta {\overline{r}}_1+\Delta {\overline{r}}_2+\dots \left(7\right).\]

Если направление движения тела изменяется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному телом пути.

Примеры задач на путь и перемещение

Пример 1

Задание: Мяч бросили вертикально вверх от поверхности Земли. Он долетел до высоты 20 м. и упал на Землю. Чему равен путь, который прошел мяч, каков модуль перемещения?

Решение: Сделаем рисунок.

Путь и перемещение, пример 1

В нашей задаче мяч движется прямолинейно сначала вверх, затем вниз. Так как путь - длина траектории, то получается, что мяч дважды прошел расстояние h, следовательно:

\[\Delta s=2h.\]

Перемещение - направленный отрезок, соединяющий начальную точку и конечную при движении тела, но тело начало движение из той же точки, в которую вернулось, следовательно, перемещение мяча равно нулю:

\[\Delta r=0.\]

Ответ: $\ Путь\ \Delta s=2h$. Перемещение $\Delta r=0$

   
Пример 2

Задание: В начальный момент времени тело находилось в точке с координатами $(x_0=3;;\ y_0=1)$(см). Через некоторый промежуток времени оно переместилось в точку координаты которой ($x=2;;y=4$) (см). Каковы проекции вектора перемещения на оси X и Y?

Решение: Сделаем рисунок.

Путь и перемещение, пример 2

Радиус - вектор начальной точки запишем как:

\[{\overline{r\ }}_0\left(t\right)=x_0\left(t\right)\overline{i}+y_0\left(t\right)\overline{j}=3\overline{i}+1\overline{j}\left(2.1\right).\]

Радиус - вектор конечной точки имеет вид:

\[\overline{r}\left(t\right)=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}=2\overline{i}+4\overline{j}\left(2.2\right).\]

Вектор перемещения представим как:

\[\Delta \overline{r}=\left[x\left(t\right)-x_0\left(t\right)\right]\overline{i}+\left[у\left(t\right)-у_0\left(t\right)\right]\overline{j}=\left[2-3\right]+\left[1-4\right]\overline{j}=-1\overline{i}+3\overline{j}(2.3).\]

Из формулы видим, что:

\[\Delta r_x=-1;;\Delta r_y=3.\ \]

Ответ: $\Delta r_x=-1;;\Delta r_y=3\ $

   

Читать дальше: равнодействующая всех сил.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 466 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!