Ускорение, теория и онлайн калькуляторы

Ускорение

Определение ускорения

Определение

Ускорение ($\overline{a}$) - это векторная физическая величина, показывающая как быстро изменяется скорость тела ($\overline{v}$).

Мгновенное ускорение (ускорение в определенный момент времени) - это величина равная:

\[\overline{a}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}\ }=\frac{d\overline{v}}{dt}=\dot{v}\left(t\right)\left(1\right).\]

Средним ускорением ($\left\langle a\right\rangle $) за промежуток времени $\Delta t=t_2-t_1$ называют физическую величину, равную отношению изменения скорости ($\Delta v=v_2-v_1$) в единицу времени:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}\left(2\right).\]

Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате:

\[\left[a\right]=\frac{м}{с^2}.\]

Направление вектора ускорения зависит от характера движения тела.

Ускорение при прямолинейном движении

Если материальная точка движется прямолинейно, то вектор ускорения направлен вдоль той же прямой, что и вектор скорости. Изменяется только величина скорости.

Переменное движение называют ускоренным, если скорость материальной точки постоянно увеличивается по модулю. При этом $a>0$, векторы ускорения и скорости сонаправлены.

Если скорость по модулю убывает, то движение называют замедленным ($a<0;;\ \overline{a}\uparrow \downarrow \overline{v}$).

Движение материальной точки называют равнопеременным, если движение происходит с постоянным ускорением ($\overline{a}=const$). При равнопеременном движении мгновенная скорость ($\overline{v}$) и ускорение материальной точки связаны выражением:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(3\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в начальный момент времени.

Ускорение материальной точки при криволинейном движении

При произвольном движении полное ускорение предпочтительно разложить на две компоненты: по направлению скорости (тангенциальная составляющая ускорения) и перпендикулярную составляющую к скорости (центростремительное) ускорение.

Тангенциальная (касательная) компонента ускорения направлена вдоль прямой параллельной вектору мгновенной скорости материальной точки (по касательной к траектории движения), обозначается она обычно как $a_{\tau }$, равна:

\[{\overline{a}}_{\tau }=\frac{dv}{dt}{\overline{e}}_{\tau }\left(4\right),\]

где ${\overline{e}}_{\tau }$ - единичный вектор, касательный к траектории движения.

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. При ускоренном движении материальной точки касательное ускорение направлено по скорости.

Нормальное ускорение (обозначается как ${\overline{a}}_n$) перпендикулярно вектору скорости, направлено к центру кривизны траектории. Оно характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. Величина нормального ускорения определяется как:

\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\left(5\right),\]

где $R$ - радиус кривизны траектории движения материальной точки в рассматриваемой точке.

Полное ускорение ($\overline{a}$) материальной точки равно:

\[\overline{a}={\overline{a}}_{\tau }+{\overline{a}}_n\left(6\right).\]

Модуль полного ускорения точки при криволинейном движении находят как:

\[a=\sqrt{a^2_{\tau }+a^2_n}\left(7\right).\]

Полное ускорение имеет направление по секущей в сторону вогнутости траектории.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное ускорения можно делать вывод о виде движения, которое совершает материальная точка. Определите, какое движение совершается точкой, если:

1) $a_n=0,$

2) $a_{\tau }=0;\ a_n=0,$

3) $a_{\tau }=0;\ a_n\ne 0,$

4) $a_{\tau }=0;\ a_n=const.$

Решение. 1)В том случае, если $a_n=0$, то скорость может изменяться только по величине, следовательно, движение прямолинейное.

2) Если $a_{\tau }=0;;\ a_n=0,$ направление скорости не изменяется ($a_n=0$), постоянна скорость и по модулю ($a_{\tau }=0$), значит, мы имеем дело с равномерным и прямолинейным движением.

3) Если $a_{\tau }=0;;\ a_n\ne 0$, то движение будет криволинейным, так как изменяется направление скорости ($a_n\ne 0$), но со скоростью постоянной по величине.

4) При $a_{\tau }=0;;\ a_n=const$ - точка движется по окружности равномерно.

Пример 2

Задание. На рис.1 дан график зависимости ускорения материальной точки от времени при прямолинейном движении. В какой точке графика скорость максимальна? Начальная скорость равна нулю.

Ускорение, пример 2

Решение. При прямолинейном движении (допустим по оси X) ускорение и скорость связаны соотношением:

\[a_x=\frac{dv_x}{dt}\left(2.1\right),\]

следовательно, скорость найдем как:

\[v_x=\int\limits^{t_2}_{t_1}{a_xdt}\left(2.2\right).\]

Из геометрического смысла интеграла, помним, что интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена функцией, стоящей под интегралом (у нас $a_x$), осью времени (в нашем случае) и прямыми $t=t_1$ (время начала движения) и $t=t_k\ \left(где\ t_k\ -конечное\ врямя\ движения\right).\ $ Максимальной площадь трапеции будет в точке 5. Следовательно, ускорение максимально в точке 5.

Ответ. Точка 5

Читать дальше: частота колебаний.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 453 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!