Формулы свободного падения в физике
Формулы свободного падения
Определение и формулы свободного падения
Если тело около поверхности Земли движется только под воздействием силы тяжести ($\overline{F}$), говорят, что оно свободно падает. Обычно в задачах, рассматривающих свободное падение тела, сопротивление воздуха не учитывают.
Модуль ускорения свободного падения на расстоянии $h$ от поверхности Земли вычисляется при помощи формулы:
\[g=\gamma \frac{M}{({R+h)}^2}\left(1\right),\]
где $\gamma $- гравитационная постоянная; $M$ - масса Земли; $R$ - радиус Земли.
Величина ускорения свободного падения около поверхности Земли ($\ при\ h\ll R$) равна:
\[g=\gamma \frac{M}{R^2}\left(2\right).\]
Направлено ускорение свободного падения к центру Земли. В задачах о движении тел около поверхности Земли ускорение свободного падения считают постоянной величиной, которую вычисляют с помощью формулы (2), так как в сравнении с радиусом Земли рассматриваемые расстояния много меньше, чем $R$. Обычно, ускорение свободного падения на Земле считают равным $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$.
Кинематические уравнения движения материальной точки в поле тяжести
Свободное падение происходит с постоянным ускорением, что было установлено еще Галилеем, поэтому в кинематике это движение описывают при помощи уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c}
\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2} \\
\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t \end{array}
\right.\left(3\right).\]
Первое уравнение системы (3) записано для перемещения тела в поле тяжести Земли (${\overline{s}}_0$ - смещение тела из начала отсчета в момент начала наблюдения ($t=0c$)). Второе уравнение системы (3) показывает изменение вектора скорости (${\overline{v}}_0$ - начальная скорость движения тела).
Используя эти уравнения, и зная начальные условия движения тела можно найти скорость и положение тела относительно избранной системы отсчета для любого момента времени.
Тело, брошенное под углом к горизонту
Так, если нам заданы начальные условия в виде и сказано, что тело свободно движется в поле силы тяжести Земли:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x\left(t=0\ \right)=0, \\
y\left(t=0\ \right)=h, \\
v_x\left(t=0\ \right){=v}_{0x}=v_0{\cos \alpha ,\ } \\
v_y\left(t=0\ \right){=v}_{0y}=v_0{\sin \alpha .\ } \end{array}
\right.\left(4\right)\]
это означает, что тело бросили под углом $\alpha $ к горизонту с начальной скоростью ${\overline{v}}_0$ с высоты $h$, оси координат выбраны так, что в момент броска смещения по оси X нет.
Из кинематических уравнений и начальных условий можно получить:
- уравнение траектории движения материальной точки:
\[y(x)=h_0\ tg\ \alpha -\frac{g}{2}{\left(\frac{x}{v_0{cos б\ }}\right)}^2\left(5\right).\]
- время подъема тела до вершины ее траектории:
\[t_p=\frac{v_0{\sin \alpha \ }}{g}\left(6\right)\]
- время полета тела:
\[t_{pol}=\frac{v_0{\sin \alpha +\sqrt{v^2_0{sin}^2\alpha +2gh_0}\ }}{g}\left(7\right).\]
При$h=0$\textit{ }мы видим, что $t_{pol}=2t_p.$
Свободное падение тела из состояния покоя
Начальные условия для тела, которое падает из состояния покоя с высоты $h$ (рис.1), запишем так:
\[\left\{ \begin{array}{c}
x\left(t=0\ \right)=0, \\
y\left(t=0\ \right)=h, \\
v_x\left(t=0\ \right)=0 \\
v_y\left(t=0\ \right)=0 \end{array}
\right.\left(8\right).\]
Кинематические уравнения движения в проекции на ось Y, которую выберем по движению тела (из векторных уравнений (3)) свободно падающего тела без начальной скорости будут выглядеть как:
\[\left\{ \begin{array}{c}
y=h-\frac{gt^2}{2} \\
v_y=-gt \end{array}
\right.(9)\]
Время падения тела равно:
\[t_{pad}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\left(10\right).\]
Скорость тела в момент падения составляет:
\[v_{pad}=-\sqrt{2gh}\left(11\right).\]
Знак минус в формуле (11) означает, что скорость падения направлена против нашей оси Y.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова глубина шахты, если камень, брошенный в нее, упал на дно спустя 1 секунду после начала движения по ней?
Решение. В этой задаче мы имеем свободное вертикальное падение тела без начальной скорости (рис.2). Систему отсчета свяжем с Землей. Начало отсчета пусть находится на дне шахты (точка 0).
В качестве основы для решения задачи воспользуемся системой уравнений, полученной для подобного движения в теоретической части статьи:
\[\left\{ \begin{array}{c}
y=h-\frac{gt^2}{2} \\
v_y=-gt \end{array}
\right.(1.1)\]
Нам достаточно для решения задачи только первого уравнения системы. В момент падения на дно координата камня будет равна нулю:
\[y=0\ \left(1.2\right).\]
Используя уравнения (1.1) и условие (1.2), выразим глубину шахты:
\[h=\frac{gt^2}{2}\ \left(1.3\right).\]
Имея в виду, что $g=9,8\ \frac{м}{с^2}\ $, проведем вычисления искомой величины:
\[h=\frac{9,8\cdot 1^2}{2}=4,9\ \left(м\right).\]
Ответ. $h=4,9$ м
Пример 2
Задание. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх движется до максимальной высоты подъема столько же времени, сколько оно потом падает с этой высоты до точки бросания.
Решение. Пусть тело бросили вертикально вверх со скоростью $v_0.$ Основой для решения задачи является уравнение для скорости и уравнение перемещения:
\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ ;;\ \overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}(2.1)\]
Рассмотрим движение тела вверх. В проекции на ось Y выражения (2.1) мы имеем:
\[v=v_0-gt\ \left(2.2\right).\]
В точке максимального подъема тело имеет скорость движения равную нулю, из этого условия и формулы (2.2) получим время подъема тела:$\ $
\[0=v_0-gt_{pod}\to t_{pod}=\frac{v_0}{g}\left(2.3\right).\]
Высота, на которую тело поднялось равна:
\[h=v_0t-\frac{gt^2}{2}=v_0\frac{v_0}{g}-\frac{g}{2}{\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2=\frac{{v_0}^2}{2g}(2.4)\]
Рассмотрим движение тела вниз с некоторой высоты. Основой будет служить уравнение для перемещения из системы (2.1).Это уравнение для нашего случая, в проекции на ось Y примет вид:
\[y=h-\frac{gt^2}{2}\left(2.5\right).\]
В момент падения координата тела $y=0$:
\[h=\frac{g{t_{pad}}^2}{2}\left(2.6\right).\]
Высота, на которую поднялось тело, мы нашли в (2.4), подставим ее, выразим время падения тела:
\[\frac{{v_0}^2}{2g}=\frac{g{t_{pad}}^2}{2}\to {t_{pad}}^2=\frac{{v_0}^2}{g^2}\to t_{pad}=\frac{v_0}{g}\ \left(2.7\right).\]
Сравниваем выражения (2.3) и (2.7), получаем:
\[t_{pad}=t_{pod}.\]
Время подъема равно времени падения.
Читать дальше: формулы эффекта Доплера.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 455 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
