Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{2 x^{2}-x-3}$
Решение. Проверим, имеет ли знаменатель подынтегральной функции "красивые" корни, то есть можно ли будет его представить в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель приравняем к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$$\begin{array}{c} 2 x^{2}-x-3=0 \\ D=b^{2}-4 a c=(-1)^{2}-4 \cdot 2 \cdot(-3)=1+24=25 \\ \sqrt{D}=\sqrt{25}=5 \end{array}$$Тогда
$$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{1 \pm 5}{2 \cdot 2}=\frac{1 \pm 5}{4}=\left\{\frac{3}{2} ;-1\right\}$$Таким образом,
$$2 x^{2}-x-3=2\left(x-\frac{3}{2}\right)(x-(-1))=2\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)$$Интеграл принимает вид:
$$\int \frac{d x}{2 x^{2}-x-3}=\int \frac{d x}{2\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)}$$Используя метод неопределенных коэффициентов представляем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\begin{aligned} \frac{1}{\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)} &=\frac{A}{x-\frac{3}{2}}+\frac{B}{x+1}=\\ =\frac{A(x+1)+B\left(x-\frac{3}{2}\right)}{\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)} & \Rightarrow 1=A(x+1)+B\left(x-\frac{3}{2}\right) \end{aligned}$$Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях переменной:
$$\begin{array}{l|l} x & A+B=0 \\ x^{0} & A-\frac{3}{2} B=1 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A+B=0 \\ A-\frac{3}{2} B=1 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=\frac{2}{5} \\ B=-\frac{2}{5} \end{array}\right.\right.$$Итак, подынтегральную функцию можно записать в виде:
$$\frac{1}{\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)}=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x+1}$$а неопределенный интеграл
$$\begin{array}{c} \int \frac{d x}{2 x^{2}-x-3}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)}= \\ =\frac{1}{2} \int\left(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}}-\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x+1}\right) d x \end{array}$$Интеграл от суммы равен сумме интегралов, поэтому получаем:
$$\begin{array}{c} \int \frac{d x}{2 x^{2}-x-3}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \int \frac{d x}{x-\frac{3}{2}}-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \int \frac{d x}{x+1}= \\ =\frac{1}{5} \ln \left|x-\frac{3}{2}\right|-\frac{1}{5} \ln |x+1|+C \end{array}$$Используя свойства логарифмов, окончательно будем иметь:
$$\int \frac{d x}{2 x^{2}-x-3}=\frac{1}{5} \ln \left|\frac{x-\frac{3}{2}}{x+1}\right|+C=\frac{1}{5} \ln \left|\frac{2 x-3}{2(x+1)}\right|+C$$Ответ. $\int \frac{d x}{2 x^{2}-x-3}=\frac{1}{5} \ln \left|\frac{2 x-3}{2(x+1)}\right|+C$
