Асимптоты графика функции

Виды асимптот

Определение

Прямая $x=x_{0}$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если хотя бы одно из предельных значений $\lim _{x \rightarrow x_{0}-0} f(x)$ или $\lim _{x \rightarrow x_{0}+0} f(x)$ равно $+\infty$ или $-\infty$ .

Замечание. Прямая $x=x_{0}$ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке $x=x_{0}$ . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая $y=y_{0}$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если хотя бы одно из предельных значений $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ или $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ равно $y_{0}$ .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая $y=k x+b$ называется наклонной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если $\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-k x-b]=0$

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции $y=f(x)$ существуют пределы $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=k$ и $\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-k x]=b$, то функция имеет наклонную асимптоту $y=k x+b$ при $x \rightarrow \infty$ .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при $k=0$ .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$, то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая $y=f(x)$ может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример

Задание. Найти асимптоты графика функции $y(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}$

Решение. Область определения функции:

$D[f] : x \in(-\infty ;-1) \cup(-1 ;+\infty)$

а) вертикальные асимптоты: прямая $x=-1$ - вертикальная асимптота, так как

$\lim _{x \rightarrow-1} y(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}\left[\frac{6}{0}\right]=\infty$

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}=\infty$

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты $y=k x+b$:

$k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-3 x+2}{x(x+1)}=1$

$b=\lim _{x \rightarrow \infty}[y(x)-k x]=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}-x\right]=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-3 x+2-x^{2}-x}{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-4 x+2}{x+1}=-4$

Таким образом, наклонная асимптота: $y=x-4$ .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая $x=-1$ .

Наклонная асимптота - прямая $y=x-4$ .

Читать дальше: исследование функции и построение ее графика.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация