Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности
выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.
Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой
точки, что для всех $x$ из этой окрестности
$f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума -
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) \lt f\left(x_{0}\right)$.
Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Необходимое условие экстремума
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке
$x_{0}$, то ее производная
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: $f^{\prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{\prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{\prime}(x)$ не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Первое достаточное условие экстремума
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:
функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ или $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ не существует;
производная $f^{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.
Тогда в точке $x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если
при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой
знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$
производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная $f^{\prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:
найти производную $f^{\prime}(x)$;
найти критические точки, то есть такие значения $x$,
в которых $f^{\prime}(x)=0$ или
$f^{\prime}(x)$ не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.
Пример
Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{\prime}(x)=0$:
$y^{\prime}=4 x^{3}=0 \Rightarrow x=0$
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку
$x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и
исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное
значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку $x=0$ производная
сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
$y_{\min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.
Замечание. Также можно определить интервалы
монотонности функции: так как на интервале
$(-\infty ; 0)$ производная
$y^{\prime}(x) \lt 0$, то на этом интервале функция
$y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале
$(0 ;+\infty)$ производная
$y^{\prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$
Второе достаточное условие экстремума
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:
она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
первая производная $f^{\prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
$f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ в точке $x_{0}$ .
Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум,
причем, если $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет минимум; если
$f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \lt 0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ достигает максимум.
Слишком сложно?
Понятие экстремума функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
В стационарной точке $x=0$ вторая производная
$y^{\prime \prime}(0)=-\frac{4 \cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает
минимум, причем $y_{\min }=y(0)=\frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.