Содержание:

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) \lt f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального минимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то ее производная $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f^{\prime}(x)=0$, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения $f^{\prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная $f^{\prime}(x)$ не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ или $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ не существует;
  3. производная $f^{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$ на экстремум, необходимо:

  1. найти производную $f^{\prime}(x)$;
  2. найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f^{\prime}(x)=0$ или $f^{\prime}(x)$ не существует;
  3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
  4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y^{\prime}=\left(x^{4}-1\right)^{\prime}=4 x^{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{\prime}(x)=0$:

$y^{\prime}=4 x^{3}=0 \Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_{\min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-\infty ; 0)$ производная $y^{\prime}(x) \lt 0$, то на этом интервале функция $y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале $(0 ;+\infty)$ производная $y^{\prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. первая производная $f^{\prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
  3. $f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ в точке $x_{0}$ .

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум, причем, если $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \lt 0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ достигает максимум.

Слишком сложно?

Понятие экстремума функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{\prime}=\frac{2 x\left(x^{2}+1\right)-\left(x^{2}-1\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y^{\prime}(x)=0 \Rightarrow \frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=0 \Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y^{\prime \prime}(x)=\left(\frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)^{\prime}=\frac{4\left(x^{2}+1\right)^{2}-4 x \cdot 2\left(x^{2}+1\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}=$

$=-\frac{4\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная $y^{\prime \prime}(0)=-\frac{4 \cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_{\min }=y(0)=\frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x) при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой окрестность (x₀ - V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого значения x <> x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать следующим образом:

y' = 4x³ - 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:

4x³ - 12x² + 12x - 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ - 3x² + 3x - 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:

(x³ - 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x - 1)(x² + x + 1) -3x(x - 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x - 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x - 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x - 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² - 4*1 = 1 - 4 +6 - 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)' = (U'V - UV')/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y' = (-(x² + 484) - 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

D < 0

В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями» производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 - 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (< 0) 1

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = - 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y '= (x² -3x+2)' =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ' = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x < 3/2, то производная y' < 0, и при этом функция убывает.

Если же x >3/2, то производная y' > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x - 3/x не может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f '(x) =(sin2x - 3x)' = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f '(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x<0, тогда:

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = - 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.