Понятие экстремума функции

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то ее производная $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y^{\prime}=\left(x^{4}-1\right)^{\prime}=4 x^{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{\prime}(x)=0$:

$y^{\prime}=4 x^{3}=0 \Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_{\min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-\infty ; 0)$ производная $y^{\prime}(x)<0$, то на этом интервале функция $y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале $(0 ;+\infty)$ производная $y^{\prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум, причем, если $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ достигает максимум.

Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y^{\prime}(x)=\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{\prime}=\frac{2 x\left(x^{2}+1\right)-\left(x^{2}-1\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y^{\prime}(x)=0 \Rightarrow \frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=0 \Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y^{\prime \prime}(x)=\left(\frac{4 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)^{\prime}=\frac{4\left(x^{2}+1\right)^{2}-4 x \cdot 2\left(x^{2}+1\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{4}}=$

$=-\frac{4\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная $y^{\prime \prime}(0)=-\frac{4 \cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_{\min }=y(0)=\frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$