Монотонность функции и ее связь с производной

Монотонность функции, основные понятия и определения

Определение

Функция $y=f(x)$ называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

$f(x) \uparrow : x_{1}< x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right)$

Пример

Функция $y=x^{2}$ является возрастающей на промежутке $[0 ; 1]$, так как:

для $0<1 : f(0)=0^{2}=0< f(1)=1^{2}=1$

Определение

Функция $f(x)$ называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

$f(x) \downarrow : x_{1}< x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$

Пример

Функция $y=x^{2}$ является строго убывающей на промежутке $[-1 ; 0]$, так как:

для $-1<0 : f(-1)=(-1)^{2}=1>f(0)=0^{2}=0$

Функция $y=f(x)$ строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Определение

Функция $y=f(x)$ называется неубывающей на промежутке, если из неравенства $x_{1}< x_{2}$ следует неравенство $f\left(x_{1}\right) \leq f\left(x_{2}\right)$.

Функция $y=f(x)$ называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства $x_{1}< x_{2}$ следует неравенство $f\left(x_{1}\right) \geq f\left(x_{2}\right)$.

Связь монотонности функции с ее производной

Теорема

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции $f^{\prime}(x)>0$ на некотором промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ возрастает на этом промежутке; если же $f^{\prime}(x)<0$ на промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \geq 0$ или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y=x^{3}$ на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y^{\prime}=\left(x^{3}\right)^{\prime}=3 x^{2}$

Для любого действительного $x$: $y^{\prime}(x)=3 x^{2} \geq 0$, а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция $y=x^{3}$ возрастает на всей действительной оси.

Читать дальше: понятие экстремума функции.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация