Определение

Если независимая переменная $x$ и функция $y$ связаны уравнением вида $F(x,y)=0$, которое не разрешено относительно $y$, то функция $y$ называется неявной функцией переменной $x$.

Пример

$$x^{2} \sin y+x y-1=0$$

Всякую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать в неявном виде $y-f(x)=0$. Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение $F(x,y)=0$ не разрешимо относительно $y$, оказывается возможным найти производную от $y$ по $x$. В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию $y$ как функцию от $x$, а затем из полученного уравнения найти производную $y^{\prime}$.

Слишком сложно?

Производная функции, заданной неявно не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти вторую производную $y^{\prime \prime}$ неявной функции $x^2+xy^2=1$.

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что $y$ является функцией переменной $x$, поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

$$\left(x^{2}+x y^{2}\right)^{\prime}=(1)^{\prime}$$ $$\left(x^{2}\right)^{\prime}+\left(x y^{2}\right)^{\prime}=0$$ $$2 x+(x)^{\prime} \cdot y^{2}+x \cdot\left(y^{2}\right)^{\prime}=0$$ $$2 x+1 \cdot y^{2}+x \cdot 2 y \cdot y^{\prime}=0 \Rightarrow 2 x+y^{2}+2 x y \cdot y^{\prime}=0$$

Из полученного равенства выражаем $y^{\prime}$:

$$2 x y \cdot y^{\prime}=-\left(2 x+y^{2}\right) \Rightarrow y^{\prime}=-\frac{2 x+y^{2}}{2 x y}$$

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство $2 x+y^{2}+2 x y \cdot y^{\prime}=0$ еще раз:

$$\begin{array}{c} \left(2 x+y^{2}+2 x y \cdot y^{\prime}\right)^{\prime}=(0)^{\prime} \\ (2 x)^{\prime}+\left(y^{2}\right)^{\prime}+\left(2 x y \cdot y^{\prime}\right)^{\prime}=0 \\ 2(x)^{\prime}+2 y \cdot y^{\prime}+2\left(x y \cdot y^{\prime}\right)^{\prime}=0 \end{array}$$

Подставив вместо $y^{\prime}$ найденное выше выражение, получаем:

$$\begin{array}{l} 2 \cdot 1+2 y\left(-\frac{2 x+y^{2}}{2 x y}\right)+2\left[(x y)^{\prime} \cdot y^{\prime}+x y \cdot\left(y^{\prime}\right)^{\prime}\right]=0 \\ 2-\frac{2 x+y^{2}}{x}+2\left[\left\{(x)^{\prime} \cdot y+x \cdot(y)^{\prime}\right\} \cdot y^{\prime}+x y \cdot y^{\prime \prime}\right]=0 \\ \frac{2 x-2 x-y^{2}}{x}+2\left[\left\{1 \cdot y+x \cdot y^{\prime}\right\} \cdot y^{\prime}+x y \cdot y^{\prime \prime}\right]=0 \\ -\frac{y^{2}}{x}+2\left[\left(y-\frac{2 x^{2}+x y^{2}}{2 x y}\right) \cdot\left(-\frac{2 x+y^{2}}{2 x y}\right)+x y \cdot y^{\prime \prime}\right]=0 \\ -\frac{y^{2}}{x}+2\left[\frac{2 x y^{2}-2 x^{2}-x y^{2}}{2 x y} \cdot\left(-\frac{2 x+y^{2}}{2 x y}\right)+x y \cdot y^{\prime \prime}\right]=0 \end{array}$$

После упрощения получаем:

$$\frac{4 x^{2}-3 y^{4}}{2 x y^{2}}+2 x y \cdot y^{\prime \prime}=0$$

Из полученного равенства выражаем вторую производную $$y^{\prime \prime}(x)$$:

$$y^{\prime \prime}(x)=\frac{3 y^{4}-4 x^{2}}{4 x^{2} y^{3}}$$

Ответ. $y^{\prime \prime}(x)=\frac{3 y^{4}-4 x^{2}}{4 x^{2} y^{3}}$

Читать дальше: производная функции, заданной параметрически.