Определение

Предположим, что функциональная зависимость $y$ от $x$ не задана непосредственно $y=f(x)$, а через промежуточную величину — $-t$. Тогда формулы

$\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция $y=y(x)$ задана в параметрической форме, то есть в виде:

$$\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right$$

где функции $x=x(t)$ и $y=y(t)$ определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра $t$. Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

$$\left\{\begin{array}{l} d x=x_{t}^{\prime} d t \\ d y=y_{t}^{\prime} d t \end{array}\right.$$

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что $\frac{d y}{d x}=y_{x}^{\prime}$, получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

$$\frac{d y}{d x}=y_{x}^{\prime}=\frac{y_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}$$

Для нахождения второй производной $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y_{x x}^{\prime \prime}$ выполним следующие преобразования:

$$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y_{x x}^{\prime \prime}=\left(y_{x}^{\prime}\right)^{\prime}=\frac{d y_{x}^{\prime}}{d x}=\frac{\frac{d y_{x}^{\prime}}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{\left(y_{x}^{\prime}\right)_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}$$

Пример

Задание. Найти вторую производную $y_{c x}^{\prime \prime}$ для функции $\left\{\begin{array}{l}x=\ln t \\ y=t^{3}\end{array}\right.$ заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную $y_{x}^{\prime}$ по формуле:

$$y_{x}^{\prime}=\frac{y_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}$$

Производная функции $y$ по переменной $t$ равна:

$$y_{t}^{\prime}=\left(t^{3}\right)^{\prime}=3 t^{2}$$

производная $x$ по $t$:

$$x_{t}^{\prime}=(\ln t)^{\prime}=\frac{1}{t}$$

Тогда

$$y_{x}^{\prime}=\frac{3 t^{2}}{\frac{1}{t}}=3 t^{3}$$

Вторая производная равна

$$y_{x x}^{\prime \prime}=\left(3 t^{3}\right)^{\prime} \cdot \frac{1}{\frac{1}{t}}=3 \cdot\left(t^{3}\right)^{\prime} \cdot t=3 t \cdot 3 t^{2}=9 t^{3}$$

Ответ. $y_{x x}^{\prime \prime}=9 t^{3}$

Читать дальше: логарифмическое дифференцирование.

Слишком сложно?

Производная функции, заданной параметрически не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание