Производные высших порядков

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке $x$ своей области определения, то ее производная $f^{\prime}(x)$ есть функция от $x$. Функция $y=f^{\prime}(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй производной) и обозначают символом $f^{\prime \prime}(x)$. Таким образом

$f^{\prime \prime}(x)=\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}$

Пример

Задание. Найти вторую производную функции $y(x)=x \ln (2 x+3)$

Решение. Для начала найдем первую производную:

$y^{\prime}(x)=(x \ln (2 x+3))^{\prime}=(x)^{\prime} \cdot \ln (2 x+3)+x \cdot(\ln (2 x+3))^{\prime}=$

$=1 \cdot \ln (2 x+3)+x \cdot \frac{1}{2 x+3} \cdot(2 x+3)^{\prime}=\ln (2 x+3)+$

$+\frac{x}{2 x+3} \cdot\left[(2 x)^{\prime}+(3)^{\prime}\right]=\ln (2 x+3)+\frac{x}{2 x+3} \cdot\left[2 \cdot(x)^{\prime}+0\right]=$

$=\ln (2 x+3)+\frac{x}{2 x+3} \cdot 2 \cdot 1=\ln (2 x+3)+\frac{2 x}{2 x+3}$

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

$y^{\prime \prime}(x)=\left(y^{\prime}(x)\right)^{\prime}=\left(\ln (2 x+3)+\frac{2 x}{2 x+3}\right)^{\prime}=$

$=(\ln (2 x+3))^{\prime}+\left(\frac{2 x}{2 x+3}\right)^{\prime}=$

$=\frac{1}{2 x+3} \cdot(2 x+3)^{\prime}+\frac{(2 x)^{\prime} \cdot(2 x+3)-2 x \cdot(2 x+3)^{\prime}}{(2 x+3)^{2}}=$

$=\frac{1}{2 x+3}\left[(2 x)^{\prime}+(3)^{\prime}\right]+\frac{2(x)^{\prime} \cdot(2 x+3)-2 x \cdot\left[(2 x)^{\prime}+(3)^{\prime}\right]}{(2 x+3)^{2}}=$

$=\frac{1}{2 x+3}\left[2 \cdot(x)^{\prime}+0\right]+\frac{2 \cdot 1 \cdot(2 x+3)-2 x \cdot\left[2 \cdot(x)^{\prime}+0\right]}{(2 x+3)^{2}}=$

$=\frac{1}{2 x+3} \cdot 2 \cdot 1+\frac{2(2 x+3)-2 x \cdot 2 \cdot 1}{(2 x+3)^{2}}=$

$=\frac{2}{2 x+3}+\frac{4 x+6-4 x}{(2 x+3)^{2}}=\frac{2}{2 x+3}+\frac{6}{(2 x+3)^{2}}=$

$=\frac{2(2 x+3)+6}{(2 x+3)^{2}}=\frac{4 x+6+6}{(2 x+3)^{2}}=\frac{4 x+12}{(2 x+3)^{2}}=\frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$

Ответ. $y^{\prime \prime}(x)=\frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная $n$-го порядка функции $f(x)$ есть первая производная от производной $(n-1)$-го порядка этой функции:

$f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{d} x^{n}}=\left(f^{(n-1)}(x)\right)^{\prime}$

Замечание

Число $n$, указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Механический смысл второй производной

Теорема

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения $s=f(t)$, то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

$a(t)=s^{\prime \prime}(t)$

Замечание

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

$a(t)=v^{\prime}(t)$

Пример

Задание. Материальная точка движется по закону $s(t)=2 t^{3}+3 t$, где $s$ измеряется в метрах, а $t$ - в секундах. Найти значение $t$, при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

$a(t)=s^{\prime \prime}(t)=\left(2 t^{3}+3 t\right)^{\prime \prime}=\left(\left(2 t^{3}+3 t\right)^{\prime}\right)^{\prime}=\left(\left(2 t^{3}\right)^{\prime}+(3 t)^{\prime}\right)^{\prime}=$

$=\left(2 \cdot 3 t^{2}+3 \cdot 1\right)^{\prime}=\left(6 t^{2}+3\right)^{\prime}=\left(6 t^{2}\right)^{\prime}+(3)^{\prime}=$

$=6 \cdot\left(t^{2}\right)^{\prime}+0=6 \cdot 2 t=12 t$

Искомое время $t$ найдем из уравнения:

$a(t)=12 \Rightarrow 12 t=12 \Rightarrow t=1 \mathrm{c}$

Ответ. $t=1 c$

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

$(u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{\prime}+C_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{\prime \prime}+\ldots+C_{n}^{n-1} u^{\prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)}$

где $C_{n}^{k}=\frac{n !}{k !(n-k) !}$, $n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ - факториал натурального числа $n$.


Пример

Задание. Найти $y^{(4)}(x)$, если $y(x)=e^{4 x} \sin 3 x$

Решение. Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций $u(x)=e^{4 x}$, $v(x)=\sin 3 x$, то для нахождения производной четвертого порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

$y^{(4)}(x)=\left(e^{4 x}\right)^{(4)} \cdot \sin 3 x+C_{4}^{1}\left(e^{4 x}\right)^{(3)} \cdot(\sin 3 x)^{\prime}+$

$+C_{4}^{2}\left(e^{4 x}\right)^{\prime \prime} \cdot(\sin 3 x)^{\prime \prime}+C_{4}^{3}\left(e^{4 x}\right)^{\prime} \cdot(\sin 3 x)^{(3)}+e^{4 x}(\sin 3 x)^{(4)}$

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

$C_{4}^{1}=\frac{4 !}{1 ! \cdot(4-1) !}=\frac{4 !}{3 !}=\frac{3 ! \cdot 4}{3 !}=4$

$C_{4}^{2}=\frac{4 !}{2 ! \cdot(4-2) !}=\frac{4 !}{2 ! \cdot 2 !}=\frac{2 ! \cdot 3 \cdot 4}{2 ! \cdot 2 !}=\frac{3 \cdot 4}{2}=6$

$C_{4}^{3}=\frac{4 !}{3 ! \cdot(4-3) !}=\frac{4 !}{3 !}=\frac{3 ! \cdot 4}{3 !}=4$

2) Найдем производные от функции $u(x)$:

$u(x)=e^{4 x}, u^{\prime}(x)=\left(e^{4 x}\right)^{\prime}=e^{4 x} \cdot(4 x)^{\prime}=e^{4 x} \cdot 4 \cdot(x)^{\prime}=4 e^{4 x}$

$u^{\prime \prime}(x)=\left(u^{\prime}(x)\right)^{\prime}=\left(4 e^{4 x}\right)^{\prime}=4 \cdot\left(e^{4 x}\right)^{\prime}=16 e^{4 x}$

$u^{\prime \prime \prime}(x)=\left(u^{\prime \prime}(x)\right)^{\prime}=\left(16 e^{4 x}\right)^{\prime}=64 e^{4 x}$

$u^{(4)}(x)=\left(u^{\prime \prime \prime}(x)\right)^{\prime}=\left(64 e^{4 x}\right)^{\prime}=256 e^{4 x}$

3) Найдем производные от функции $v(x)$:

$v(x)=\sin 3 x, v^{\prime}(x)=(\sin 3 x)^{\prime}=\cos 3 x \cdot(3 x)^{\prime}=3 \cos 3 x$

$v^{\prime \prime}(x)=\left(v^{\prime}(x)\right)^{\prime}=(3 \cos 3 x)^{\prime}=3 \cdot(\cos 3 x)^{\prime}=$

$=3 \cdot(-\sin 3 x) \cdot(3 x)^{\prime}=-9 \sin 3 x$

$v^{\prime \prime \prime}(x)=\left(v^{\prime \prime}(x)\right)^{\prime}=-27 \cos 3 x, v^{(4)}(x)=\left(v^{\prime \prime \prime}(x)\right)^{\prime}=81 \sin 3 x$

Тогда

$y^{(4)}(x)=256 e^{4 x} \cdot \sin 3 x+4 \cdot 64 e^{4 x} \cdot 3 \cos 3 x+$

$+6 \cdot 16 e^{4 x} \cdot(-9 \sin 3 x)+4 \cdot 4 e^{4 x} \cdot(-27 \cos 3 x)+e^{4 x} 81 \sin 3 x=$

$=e^{4 x}(336 \cos 3 x-527 \sin 3 x)$

Ответ. $y^{(4)}(x)=e^{4 x}(336 \cos 3 x-527 \sin 3 x)$

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация