Определение

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.

1. Неравенство $\log _{a} f(x)<b$ в случае, если $0 \lt a \lt 1$ сводится к равносильному неравенству $f(x)>a^{b}$. Если же $a > 1$ - то к неравенству $f(x) \lt a^{b}$.

Аналогично неравенство $\log _{a} f(x)>b$ равносильно неравенствам для $0 <a<1: f(x)<a^{b}$ для $a>1$ : $f(x)>a^{b}$.

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ:$f(x)>0$

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{0,5}(x-1)>-1$

Решение. ОДЗ: $x-1>0 \Rightarrow x>1 \Rightarrow x \in(1 ;+\infty)$

Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

$x-1 <0,5^{-1}$   или   $x-1<2 \Rightarrow x<3$

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$

Ответ. $x \in(1 ; 3)$

2. Решение логарифмического неравенства вида $$\log _{a} f(x) \lt \log _{a} g(x)$$ равносильно решению следующих систем:

а)      б)

Неравенство $\log _{a} f(x)>\log _{a} g(x)$ в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

$$0<a<1:\left\{\begin{array}{l} f(x)<g(x) \\ f(x)>0 \end{array}\right.$$ $$a>1:\left\{\begin{array}{l} f(x)>g(x) \\ g(x)>0 \end{array}\right.$$

Слишком сложно?

Логарифмические неравенства не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

$$\left\{\begin{array}{l} 5>x, \\ x>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x0 \end{array} \Rightarrow x \in(0 ; 5)\right.\right.$$

Ответ. $x \in(0 ; 5)$

Читать дальше: примеры решения задач с логарифмами.