Логарифмические уравнения

Определение

Логарифмическое уравнение - это такое уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Пример

Задание. Прологарифмировать выражение $x=3 b c$

Решение. В левой и правой части допишем логарифм по основанию $a$:

$\log _{a} x=\log _{a}(3 b c)$

По свойствам логарифмов логарифм произведения, стоящий в правой части, представим как сумму логарифмов от каждого из сомножителей, то есть:

$\log _{a} x=\log _{a} 3+\log _{a} b+\log _{a} c$

Определение

Если по данному результату логарифмирования находят выражение, от которого получен этот результат, то такая операция называется потенцированием.

Пример

Задание. Пропотенцировать выражение $\log _{a} x=5 \log _{a} c-\log _{a} d$

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть данного выражения:

$5 \log _{a} c-\log _{a} d=\log _{a} c^{5}-\log _{a} d=\log _{a} \frac{c^{5}}{d}$

$\log _{a} x=\log _{a} \frac{c^{5}}{d}$

$x=\frac{c^{5}}{d}$

1. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение $\log _{a} x=b$, причем основание логарифма $a>0, a \neq 1$, а подлогарифмическое выражение $x>0$.

Для любого действительного $b$ это уравнение имеет единственное решение $x=a^{b}$.

Пример

Задание. Решить уравнение $\log _{5} x=2$

Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): $x>0$, тогда единственное решение уравнения

$x=5^{2}=25$

Ответ. $x=25$

2. Логарифмическое уравнение вида $\log _{a} f(x)=b$

Здесь $a>0, a \neq 1$, $f(x)$ - элементарная алгебраическая функция, причем, чтобы уравнение имело решение, должно выполняться неравенство $f(x)>0$.

Заменой $f(x)=t$ данное уравнение приводится к простейшему логарифмическому уравнению $\log _{a} t=b$, решение которого приведено в пункте 1.

Пример

Задание. Решить уравнение $\log _{2}\left(x^{2}+4\right)=3$

Решение. ОДЗ: $x^{2}+4>0 \Rightarrow x \in R$

Замена: $x^{2}+4=t$, получаем уравнение $\log _{2} t=3$, решение которого

$t=2^{3}=8$

Делая обратную замену, получаем:

$x^{2}+4=8 \Rightarrow x^{2}-4=0 \Rightarrow(x-2)(x+2) \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-2$

Ответ. $x_{1}=2, x_{2}=-2$

Пример

Задание. Найти решение уравнения $\log _{x}(x+2)=2$

Решение. ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}x+2>0, \\ x>0, \\ x \neq 1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-2 \\ x>0, \quad \Rightarrow x \in(0 ; 1) \cup(1 ;+\infty) \\ x \neq 1\end{array}\right.\right.$

Замена: $x+2=t \Rightarrow \log _{x} t=2 \Rightarrow t=x^{2}$. Делая обратную замену, приходим к уравнению

$x^{2}=x+2 \Rightarrow x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1$

Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение $x=2$

Ответ. $x=2$

3. Логарифмическое уравнение вида $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x)$

Здесь $a$ - отличное от единицы положительное число; $f(x)$ и $g(x)$ - элементарные алгебраические функции.

Решение логарифмических уравнений такого типа сводится к решению уравнения $f(x)=g(x)$. Поэтому для решения рассматриваемого типа уравнений $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x)$ достаточно найти все решения уравнения $f(x)=g(x)$ и среди полученных выбрать те, которые относятся к ОДЗ уравнения $\log _{a} f(x)=\log _{a} g(x)$. Если уравнение $f(x)=g(x)$ решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.

Пример

Задание. Решить уравнение $\ln (x+1)=\ln (2 x-3)$

Решение. Находим ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ 2 x-3>0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ 2 x>3\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x>\frac{3}{2}\end{array} \Rightarrow\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)\right.\right.\right.$

Решаем уравнение $x+1=2 x-3$ : $x=4 \in$ ОДЗ.

Итак, решением исходного логарифмического уравнения также является это значение.

Ответ. $x=4$

Читать дальше: логарифмические неравенства.

Другая информация