Десятичный логарифм

Определение

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$. Логарифм имеет смысл, если $a>0, a \neq 1, b>0$.

Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10. Обозначается знаком lg, т.е. $\lg x=\log _{10} x$.

Основание десятичного логарифма - число 10.

Иногда используется обозначение $\log x$.

Тогда из определения логарифма можно заключить, что десятичный логарифм $\lg b$ - это решение показательного уравнения $10^{x}=b$.


Свойства и основные формулы десятичного логарифма

1°    $\lg 1=0$

Десятичный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0).

2°    $\lg 10=1$

3°    $\lg (x y)=\lg x+\lg y$

4°    $\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y$

5°    $\lg x^{n}=n \cdot \lg x$

6°    График функции $y=\lg x$ :

График десятичного логарифма, функции

Примеры решения задач

Пример

Задание. Упростить выражение $\frac{3 \lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}$

Решение. Внесем тройку в числителе под знак логарифма и воспользуемся свойствами суммы и разности логарифмов:

$\frac{3 \lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}=\frac{\lg 2^{3}-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}=\frac{\lg \frac{8}{24}}{\lg (3 \cdot 9)}=\frac{\lg \frac{1}{3}}{\lg 27}=\frac{\lg 3^{-1}}{\lg 3^{3}}$

Применим свойство логарифма степени

$\frac{\lg 3^{-1}}{\lg 3^{3}}=\frac{-\lg 3}{3 \lg 3}=-\frac{1}{3}$

Ответ. $\frac{3 \lg 2-\lg 24}{\lg 3+\lg 9}=-\frac{1}{3}$


Дополнительный материал

7°    $(\lg x)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 10}$

8°    $\int \lg x \mathrm{d} x=x \lg x-\frac{x}{\ln 10}+C$

9°    $\lim _{x \rightarrow 0+} \lg x=-\infty$


Читать дальше: логарифмическая функция.

Другая информация