Что такое биссектриса треугольника

Определение биссектрисы треугольника

Определение

Биссектрисой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину с противоположной стороной и делит соответствующий угол пополам.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

На рисунке 1 в треугольнике $A B C : M C$ - биссектриса угла $C, K A$ - биссектриса угла $A, B L$ - биссектриса угла $B$. Биссектрисы пересекаются в одной точке (на рисунке 1 точка $O$ ), которая лежит в середине треугольника и называется инцентром.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные к прилегающим сторонам:

$$\frac{A B}{B C}=\frac{L A}{L C}$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $\triangle A B C : B L$ - биссектриса, сторона $A B=5$ см, $B C=4$ см, отрезок $L C=2$ см. Найти длину отрезка $A L$.

Решение. По свойству биссектрисы

$$\frac{A B}{B C}=\frac{A L}{L C}$$

Подставляя в это равенство исходные данные, получим

$\frac{5}{4}=\frac{A L}{2} \Rightarrow A L=\frac{5 \cdot 2}{4} \Rightarrow A L=2,5$ (см)

Ответ. $A L=2,5$ см

Пример

Задание. В треугольнике $\Delta A B C : B L$ и $KA$ - биссектрисы, при пересечении которых образуется угол $115^{\circ}$. Найти угол $\angle C$.

Решение. Так как $B L$ и $K A$ - биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$, то

$$\angle K A L=\frac{1}{2} \angle A, \quad \angle A B L=\frac{1}{2} \angle B$$

Из $\triangle A B O$ по теореме о сумме углов треугольника

$$\angle K A L+\angle A B L+\angle A B O=180^{\circ}$$

или

$$\frac{1}{2} \angle A+\frac{1}{2} \angle B+115^{\circ}=180^{\circ}$$

Откуда

$$\frac{1}{2} \angle A+\frac{1}{2} \angle B=180^{\circ}-115^{\circ}$$

$$\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=65^{\circ}$$

$$\angle A+\angle B=65^{\circ} \cdot 2$$

$$\angle A+\angle B=130^{\circ}$$

Далее из треугольника $A B C$ по теореме о сумме углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$$

Выразим из этого равенства угол $C$,

$$\angle C=180^{\circ}-(\angle A+\angle B)$$

подставляя уже имеющиеся значения для суммы углов, получим

$$\angle C=180^{\circ}-130^{\circ}=60^{\circ}$$

Ответ. $\angle C=60^{\circ}$

Читать дальше: что такое вершина треугольника.

Другая информация