Определение

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

1

$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$

Выражение $a^{2}+a b+b^{2}$, которое стоит вторыми сомножителями в правой части равенства (1), называется неполным квадратом суммы. От полного квадрата суммы оно отличается лишь средним коэффициентом.

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки данной формулы умножим двучлен $a-b$ на $a^{2}+a b+b^{2}$: $(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}-b a^{2}-a b^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}$.

Пример

Задание. Разложить выражение $27 x^{3}-8 y^{6}$ на множители.

Решение. $27 x^{3}-8 y^{6}=(3 x)^{3}-\left(2 y^{2}\right)^{3}=$

$=\left(3 x-2 y^{2}\right)\left((3 x)^{2}+3 x \cdot 2 y^{2}+\left(2 y^{2}\right)^{2}\right)=\left(3 x-2 y^{2}\right)\left(9 x^{2}+6 x y^{2}+4 y^{4}\right)$

Читать следующую тему: примеры решения задач с формулами сокращенного умножения.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!