Куб разности

Определение

Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

1

$(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки данной формулы умножим двучлен $a-b$ на $(a-b)^{2}$: $(a-b)^{3}=(a-b)(a-b)^{2}=(a-b)\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)=$

$=a^{3}-2 a^{2} b+a b^{2}-b a^{2}+2 a b^{2}-b^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$. Выражение $(a-b)^{2}$ было заменено эквивалентным выражением по формуле "квадрат разности".

Пример

Задание. Раскрыть скобки $(2 x y-1)^{3}$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый - возведем в куб по определению, то есть умножим выражение $2 x y-1$ два раза на себя; второй - используя формулу сокращенного умножения "куб разности".

1. По определению:

$(2 x y-1)^{3}=(2 x y-1)(2 x y-1)^{2}=(2 x y-1)\left(4 x^{2} y^{2}-4 x y+1\right)=$

$=8 x^{3} y^{3}-8 x^{2} y^{2}+2 x y-4 x^{2} y^{2}+4 x y-1=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(2 x y-1)^{3}=(2 x y)^{3}-3 \cdot(2 x y)^{2} \cdot 1+3 \cdot 2 x y \cdot 1^{2}-1^{3}=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.

Читать следующую тему: формула "сумма кубов".

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация