Квадрат разности

Определение

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.

1

$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как справа налево, так и слева направо, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен $a-b$ на себя: $(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-a b-b a+b^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$.

При использовании формулы квадрата разности надо учитывать, что $(b-a)^{2}=(-(a-b))^{2}=(a-b)^{2}$.

Пример

Задание. Раскрыть скобки $(5 x-6 y)^{2}$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый - возведем в квадрат по определению, то есть умножим выражение $5 x-6 y$ на себя; второй - используем формулу сокращенного умножения "квадрат разности".

1. По определению:

$(5 x-6 y)^{2}=(5 x-6 y)(5 x-6 y)=5 x \cdot 5 x-5 x \cdot 6 y-6 y \cdot 5 x+6 y \cdot 6 y=$

$=25 x^{2}-30 x y-30 x y+36 y^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(5 x-6 y)^{2}=(5 x)^{2}-2 \cdot 5 x \cdot 6 y+(6 y)^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению. Использование такой формулы уменьшит вероятность ошибки.

С помощью формулы квадрат разности можно сравнительно легко и быстро возводить в квадрат большие числа:

$89^{2}=(90-1)^{2}=90^{2}-2 \cdot 90 \cdot 1+1^{2}=8100-180+1=7921$

$88^{2}=(90-2)^{2}=90^{2}-2 \cdot 90 \cdot 2+2^{2}=8100-360+4=7744$


Читать следующую тему: формула "разность квадратов".

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация