Разность квадратов

Определение

Разность квадратов двух выражений равно произведению суммы этих выражений на их разность.

1

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Для проверки равенства умножим двучлен $a+b$ на $a-b$ : $(a+b)(a-b)=a^{2}-a b+b a-b^{2}=a^{2}-b^{2}$.

Пример

Задание. Раскрыть скобки $(6 y-x)(6 y+x)$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый - умножим два двучлена по определению, то есть умножим выражение $6 y-x$ на $6 y+x$; второй - используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов".

1. По определению:

$(6 y-x)(6 y+x)=6 y \cdot 6 y+6 y \cdot x-x \cdot 6 y-x \cdot x=$

$36 y^{2}+6 x y-6 x y-x^{2}=36 y^{2}-x^{2}$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(6 y-x)(6 y+x)=(6 y)^{2}-(x)^{2}=36 y^{2}-x^{2}$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.

Геометрическая интерпретация

Приведем геометрическую интерпретацию формулы "разность квадратов". Пусть для определенности $a>b>0$. Из квадрата со стороной $a$ (его площадь равна $a^{2}$) вырежем квадрат со стороной $b$ (площади $b^{2}$), как показано на рисунке слева. Тогда площадь оставшейся закрашенной фигуры равна $a^{2}-b^{2}$.

Теперь закрашенную фигуру изобразим как прямоугольник со сторонами $a+b$ и $a-b$ (рисунок справа). Площадь этого прямоугольника равна $(a+b)(a-b)$. То есть получаем, что $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.


Читать следующую тему: формула "куб суммы".

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация