Куб суммы

Определение

Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.

1

$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$

Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство "читается" как слева направо, так и справа налево, то верно и обратное равенство. Проверим это равенство, для этого умножим двучлен $a+b$ на $(a+b)^{2}$: $(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)^{2}=(a+b)\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)=$

$=a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+b a^{2}+2 a b^{2}+b^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$. Выражение $(a+b)^{2}$ было заменено эквивалентным выражением по формуле "квадрат суммы".

Пример

Задание. Раскрыть скобки $(3 x+y)^{3}$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый - возведем в куб по определению, то есть умножим выражение $3 x+y$ два раза на себя; второй - используем формулу сокращенного умножения "куб суммы".

1. По определению:

$(3 x+y)^{3}=(3 x+y)(3 x+y)^{2}=(3 x+y)\left(9 x^{2}+6 x y+y^{2}\right)=$

$=27 x^{3}+18 x^{2} y+3 x y^{2}+9 x^{2} y+6 x y^{2}+y^{3}=27 x^{3}+27 x^{2} y+9 x y^{2}+y^{3}$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(3 x+y)^{3}=(3 x)^{3}+3 \cdot(3 x)^{2} \cdot y+3 \cdot 3 x \cdot(y)^{2}+y^{3}=27 x^{3}+27 x^{2} y+9 x y^{2}+y^{3}$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения значительно упростило и ускорило решение.

Читать следующую тему: формула "куб разности".

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация