Теорема Виета

Теорема Виета для квадратного трехчлена

Теорема

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена $x^{2}+p x+q=0$ равна его второму коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение - свободному члену $q$.

$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$

В случае неприведенного квадратного уравнения $a x^{2}+b x+c=0$ формулы Виета имеют вид:

$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}$

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных  $x_{1}+x_{2}$  и  $x_{1} x_{2}$  . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.

Пример

Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения $x^{2}-5 x+6=0$

Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что

$$x_{1}+x_{2}=5$$

$$x_{1} x_{2}=6$$

Подбираем значения $x_{1}$ и $x_{2}$, которые удовлетворяют этим равенствам. Легко видеть, что им удовлетворяют значения

$x_{1}=2 $ и $ x_{2}=3$

Ответ. Корни уравнения $x_{1}=2, x_{2}=3$

Обратная теорема Виета

Теорема

Если числа $x_{1}$ и $x_{2}$ удовлетворяют соотношениям $x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$, то они удовлетворяют квадратному уравнению $x^{2}+p x+q=0$, то есть являются его корнями.

Пример

Задание. Зная, что числа $x_{1}=3$ и $x_{2}=-1$ - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.

Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:

$$x^{2}+p x+q=0$$

Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:

$$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$$

Тогда

$$p=-\left(x_{1}+x_{2}\right)=-(3+(-1))=-2$$

$$q=x_{1} x_{2}=3 \cdot(-1)=-3$$

То есть искомое уравнение

$$x^{2}-2 x-3=0$$

Ответ. $x^{2}-2 x-3=0$

Общая формулировка теоремы Виета

Теорема

Если $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ - корни многочлена $x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots+a_{n}$ (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

$$a_{1}=-\left(c_{1}+c_{2}+\ldots+c_{n}\right)$$

$$a_{2}=c_{1} c_{2}+c_{1} c_{3}+\ldots+c_{1} c_{n}+c_{2} c_{3}+\ldots+c_{n-1} c_{n}$$

$$a_{3}=-\left(c_{1} c_{2} c_{3}+c_{1} c_{2} c_{4}+\ldots+c_{n-2} c_{n-1} c_{n}\right)$$

$$\ldots$$

$$a_{n-1}=(-1)^{n-1}\left(c_{1} c_{2} \ldots c_{n-1}+c_{1} c_{2} \ldots c_{n-2} c_{n}+\ldots+c_{2} c_{3} \ldots\right.$$

$$a_{n}=(-1)^{n} c_{1} c_{2} \ldots c_{n}$$

Иначе говоря, произведение $(-1)^{k} a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Формулы Виета - формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603).

Если старший коэффициент многочлена $a_{0} \neq 1$, то есть многочлен не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Другая информация