Содержание:

Формулировка теоремы о трех перпендикулярах

Теорема

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной (рис. 1).

Теорема

Обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Через центр $O$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности проведена прямая $SO$, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Доказательство. 1) Так как радиус $OA = r$ перпендикулярен стороне треугольника (рис. 2), то, согласно теореме о трех перпендикулярах, отрезок $SA$ перпендикулярен этой стороне.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$. По теореме Пифагора

$$S A=\sqrt{A O^{2}+O S^{2}}=\sqrt{r^{2}+O S^{2}}$$

3) Аналогично, можно показать, что

$S B=\sqrt{r^{2}+O S^{2}}$  и  $S C=\sqrt{r^{2}+O S^{2}}$

То есть $SA = SB = SC$ .

Что и требовалось доказать

Слишком сложно?

Теорема о трех перпендикулярах не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Высота прямоугольного треугольника $ABC$, опущенная на гипотенузу, равна 9,6. Из вершины $C$ прямого угла восставлен к плоскости треугольника $ABC$ перпендикуляр $CM$, причем $CM=28$. Найти расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

Решение. Пусть $CH$ - высота заданного прямоугольного треугольника $ABC$ (рис. 3).

Тогда $MH$ - наклонная к плоскости треугольника $ABC$, а $CH$ - проекция этой наклонной на плоскость треугольника.

Так как $C H \perp A B$, то по теореме о трех перпендикулярах и $M H \perp A B$. Значит, длина отрезка $MH$ равна искомому расстоянию от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

Из прямоугольного треугольника $MCH$ по теореме Пифагора находим, что

$$M H=\sqrt{M C^{2}+C H^{2}}=\sqrt{28^{2}+9,6^{2}}=\sqrt{876,16}=29,6$$

Ответ. $M H=29,6$