Содержание:

Определение взаимно простых чисел

Определение

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен 1.

Общим делителем нескольких натуральных чисел называется число, являющееся делителем каждого из данных чисел. В случае если их несколько, наибольший из них называется наибольшим общим делителем (НОД).

Для нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел необходимо:

  1. записать каноническое разложение данных чисел;
  2. перечислить все общие простые множители, входящие в канонические разложения каждого из данных чисел;
  3. возвести каждое из перечисленных простых множителей чисел в наименьшую степень, с которой этот простой множитель входит в канонические разложения данных чисел.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти НОД чисел 2520 и 5940

Решение. 1) Запишем их каноническое разложение

$2520=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \quad 5940=2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 11$

2) У этих двух чисел общими будут такие простые числа: 2, 3, 5 ;

3) Минимальная степень двойки в канонических разложениях - вторая, для 3 тоже вторая, пятерка входит в оба разложения в первой степени.

Таким образом, НОД равен: НОД (2530; 5940) $=2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5=180$

Ответ. НОД (2530; 5940) $=180$

Слишком сложно?

Что такое взаимно простые числа не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Среди перечисленных чисел указать взаимно простые числа:

11 и 29;   84 и 715;   27 и 111

Решение. В первой паре 11 и 29 каждое из чисел является простым числом, поэтому они будут взаимно простыми. Для второй пары чисел 84 и 715 найдем НОД. Их канонические разложения имеют вид

$$84=2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \quad, \quad 715=5 \cdot 11 \cdot 13$$

В их канонических разложениях нет общих множителей, поэтому НОД (84; 715) = 1 , и, следовательно, они взаимно простые. Найдем теперь НОД для последней пары чисел. Их канонические разложения имеют вид $27 = 3^3$, $111 = 3 \cdot 37$, а НОД (27; 111) = 3 . Числа 27 и 111 не являются взаимно простыми.

Ответ. Взаимно простыми являются числа: 11 и 29;   84 и 715.

Читать дальше: что такое обратное число.