Что такое вертикальные углы

Определение вертикальных углов

Определение

Углы, у которых вершина общая и стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами (рис. 1).

Что такое вертикальные углы, рисунок вертикальных углов

На приведенном рисунке вертикальными есть углы $AOB$ и $COD$, а также $AOC$ и $BOD$ .

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.

Теорема

Вертикальные углы равны.

Примеры решения задач с вертикальными углами

Пример

Задание. Пусть на рисунке 1 $\angle COD$ равен $45^{\circ}$. Чему равны углы $AOB$ и $AOC$ ?

Решение. Так как углы $COD$ и $AOB$ вертикальные, то значит, они равны, а тогда

$$\angle A O B=\angle C O D=45^{\circ}$$

Углы $AOB$ и $AOC$ смежные, а тогда из теоремы про смежные углы получаем, что их сумма равна $180^{\circ}$, то есть

$$\angle A O B+\angle A O C=180^{\circ}$$

Отсюда

$$\angle A O C=180^{\circ}-\angle A O B=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$

Ответ. $\angle A O B=45^{\circ}, \angle A O C=135^{\circ}$

Пример

Задание. Сумма двух вертикальных углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $100^{\circ}$. Найти величину каждого из четырех углов, образованных при пересечении.

Решение. Пусть сумма вертикальных углов $AOB$ и $\angle COD$ равна $100^{\circ}$ (рис. 1). Как известно, вертикальные углы равны между собой, поэтому

$$\angle A O B=\angle C O D$$

Тогда из условия имеем:

$$\begin{aligned} \angle A O B+\angle C O D=100^{\circ} & \Rightarrow \angle C O D+\angle C O D=100^{\circ} \Rightarrow \\ & \Rightarrow 2 \angle C O D=100^{\circ} \Rightarrow \angle C O D=50^{\circ} \end{aligned}$$

А значит и $\angle A O B=50^{\circ}$

Углы $AOB$ и $AOC$ смежные, а значит, их сумма равна $180^{\circ}$:

$$\begin{aligned} \angle A O B+\angle A O C &=180^{\circ} \Rightarrow \angle A O C=180^{\circ}-\angle A O B=\\ &=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \end{aligned}$$

Углы $AOC$ и $BOD$ вертикальные, а значит

$$\angle B O D=\angle A O C=130^{\circ}$$

Ответ. $50^{\circ}, 50^{\circ}, 130^{\circ}, 130^{\circ}$

Читать дальше: что такое синус угла.

Другая информация