Содержание:

Равные дроби

Определение

Две дроби называются равными, если равны их числители и знаменатели соответственно.

Пример

Задание. Найти при каком значении $x$ и $y$ дроби $\frac{x}{3}$ и $\frac{4}{y}$ будут равны.

Решение. Заданные дроби равны, то есть $\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$ , если равны их числители и знаменатели соответственно. А тогда имеют место следующие равенства:

$x=4$ $3=y$  или  $x=4$ $y=3$

Ответ. $x=4, y=3$

Две дроби считаются равным, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой.

Например. Дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{6}{8}$ равны, так как две длины, из которых одна составляет $\frac{3}{4}$ м, а вторая - $\frac{6}{8}$ м, равны (рис 1).

Принципы сравнения дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.

Например.  $\frac{7}{18}>\frac{5}{18}$ , так как $7>5$

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.

Например.   $\frac{7}{3}>\frac{7}{6}$, так как $3<6$ .

Любая правильная дробь меньше 1.

Например.  $\frac{4}{5} < 1$

Неправильная дробь, числитель которой равен знаменателю, равна 1.

Например.  $\frac{3}{3}=1, \frac{7}{7}=1$

Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше 1.

Например.  $\frac{7}{6}>1$

Любая правильная дробь меньше произвольной неправильной дроби.

Например.  $\frac{4}{5}<\frac{5}{4}$

В общем случае дроби по величине сравниваются следующим образом. Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. И сравнивают полученные произведения. Если первое из этих произведений больше/равно/меньше второго, то соответственно и первая дробь больше/равно/меньше второй.

Например. $\frac{5}{6}>\frac{7}{9}$ , так как $5 \cdot 9>6 \cdot 7 \Leftrightarrow 45>42$

Сравнение дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю. Для этого приводят либо к общему знаменателю, либо числитель и знаменатель первой дроби домножают на знаменатель второй и наоборот, числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. И далее дроби сравнивать как дроби с одинаковым знаменателем (описано выше).

Слишком сложно?

Сравнение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Сравнить дроби  $\frac{3}{4}$  и $\frac{5}{7}$ 

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 7 (знаменатель второй дроби); а числитель и знаменатель второй дроби - на 4, будем иметь:

$\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7}$ и $\frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4}$ $\frac{21}{28}$ и $\frac{20}{28}$

Первая дробь больше: $\frac{21}{28}>\frac{20}{28} \Leftrightarrow \frac{3}{4}>\frac{5}{7}$ , так как ее числитель $21 > 20$

Ответ.  $\frac{3}{4}>\frac{5}{7}$

Читать следующую тему: основное свойство дроби.