Определение

Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей дробью с меньшими членами, путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель.

Сокращать дроби можно последовательным сокращением на общие делители числителя и знаменателя.

Пример

Задание. Сократить дробь  $\frac{48}{88}$

Решение. Как видим, числитель и знаменатель заданной дроби являются четными числами, а поэтому и можно сократить на их общий делитель - 2:

$\frac{48}{88}=\frac{24}{44}$

Аналогично, общим делителем полученных числителя 24 и знаменателя 44 есть число 4, а поэтому производим дальнейшее сокращение на 4:

$\frac{48}{88}=\frac{24}{44}=\frac{6}{11}$

Полученные числа - 6 и 11 - уже являются взаимно простыми.

Итак, после сокращения окончательно имеем:

$\frac{48}{88}=\frac{6}{11}$

Ответ.   $\frac{48}{88}=\frac{6}{11}$

Также сокращать можно сразу на наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который можно находить либо с помощью канонических разложений на простые множители, либо с помощью алгоритма Евклида.

Определение

Наибольшим общим делителем чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.

Слишком сложно?

Сокращение дроби не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Сократить дробь $\frac{840}{3600}$

Решение. Вначале найдем НОД чисел 840 и 3600 двумя способами.

Первый способ: с помощью канонических разложений на простые множители. Запишем указанные канонические разложения:

Таким образом, $840=2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7,3600=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$

Из полученных разложений выписываем одинаковые множители в наименьшей степени, что и определяет НОД:

НОД (840, 3600) $=2^{3} \cdot 3 \cdot 5=120$

Второй способ: с помощью алгоритма Евклида (Евклид или Эвклид (325 г. до н.э. - 265 г. до н.э.) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике).

НОД двух чисел равен последнему, неравному нулю остатку в алгоритме Евклида. Будем выполнять деление в столбик. Начнем с того, что знаменатель 3600 поделим на числитель 840 (большее число делится на меньшее):

Итак, НОД (840, 3600) = 120

После того, как НОД найден, делим числитель и знаменатель дроби $\frac{840}{3600}$ на 120, в результате получим:

$\frac{840}{3600}=\frac{7}{30}$

Ответ.   $\frac{840}{3600}=\frac{7}{30}$

Определение

Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то есть являются взаимно простыми числами, то дробь называется несократимой.

Например.  $\frac{4}{11}$


Читать следующую тему: раздробление дробей.