Производная частного (u/v)'

Задание. Найти производную функции $y(x)=\frac{x}{\sin x}$

Решение. Заданная функция представляет частное двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=\sin x$, тогда ее производная, согласно формуле, будет равна:

$$\begin{aligned} y^{\prime}(x) &=\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{(x)^{\prime} \cdot \sin x-x \cdot(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}}=\\ &=\frac{1 \cdot \sin x-x \cdot \cos x}{\sin ^{2} x}=\frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x} \end{aligned}$$

Ответ. $\begin{aligned} y^{\prime}(x) &=\frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x} \end{aligned}$

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\frac{e^{x}}{\operatorname{tg} x}$

Решение. В данном случае функции $u(x)=e^{x}, v(x)=\operatorname{tg} x$ тогда, согласно формуле производной частного, имеем:

$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{e^{x}}{\operatorname{tg} x}\right)^{\prime}=\frac{\left(e^{x}\right)^{\prime} \cdot \operatorname{tg} x-e^{x} \cdot(\operatorname{tg} x)^{\prime}}{(\operatorname{tg} x)^{2}}=$$ $$=\frac{e^{x} \cdot \operatorname{tg} x-e^{x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}}{\operatorname{tg}^{2} x}=\frac{e^{x}\left(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{1}{\cos ^{2} x}\right)}{\operatorname{tg}^{2} x}=$$ $$=\frac{e^{x}(\sin x \cos x-1)}{\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \cdot \cos ^{2} x}=\frac{e^{x}(\sin x \cos x-1)}{\sin ^{2} x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(\sin x \cos x-1)}{\sin ^{2} x}$