Производная произведения

Формула

$$(u(x) \cdot v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$$

Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй.

Примеры вычисления производной произведения функций

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=x \sin x$

Решение. Так как заданная функция есть произведением двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=\sin x$, то производную $y^{\prime}(x)$ находим как от произведения. Согласно формуле имеем:

$$y^{\prime}(x)=(x \sin x)^{\prime}=(x)^{\prime} \cdot \sin x+x \cdot(\sin x)^{\prime}=$ $=1 \cdot \sin x+x \cdot \cos x=\sin x+x \cos x$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\sin x+x \cos x$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=e^x /cdot \tg x$

Решение. В данном случае в качестве функций $u(x)$ и $v(x)$ можно выбрать соответственно

$$u(x)=e^{x}, v(x)=\operatorname{tg} x$$

тогда искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=\left(e^{x} \cdot \operatorname{tg} x\right)^{\prime}=\left(e^{x}\right)^{\prime} \cdot \operatorname{tg} x+e^{x} \cdot(\operatorname{tg} x)^{\prime}=$$ $$=e^{x} \cdot \operatorname{tg} x+e^{x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}=e^{x}\left(\operatorname{tg} x+\frac{1}{\cos ^{2} x}\right)$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=e^{x}\left(\operatorname{tg} x+\frac{1}{\cos ^{2} x}\right)$

Читать дальше: производная частного (u/v)'.

Другая информация