$$e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !},|x| \lt \infty ,$$ $$\sin x=\frac{x}{1 !}-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}-\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !},|x| \lt \infty ,$$ $$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n}}{(2 n) !}-\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n) !},|x| \lt \infty ,$$ $$\ln (1+x)=\frac{x}{1 !}-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n !}-\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n !}, x \in(-1 ; 1],$$ $$(1+x)^{\alpha}=1+\frac{\alpha}{1 !} x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3 !} x^{3}+\ldots+$$ $$+\frac{\alpha(\alpha-1) . .(\alpha-n+1) x^{n}}{n !}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1) x^{n}}{n !},|x|<1,$$ $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n},|x|<1,$$ $$\operatorname{arctg} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}-\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}, x \mid \leq 1$$

Пример

Задание. Найти ряд Маклорена функции $y(x)=\cos ^{2} x$.

Решение. Применим к заданной функции формулу понижения степени, то есть представим ее в следующем виде:

$$y(x)=\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \cos 2 x$$

Ряд для функции $\cos t$ имеет вид:

$$\cos t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} t^{2 n}}{(2 n) !}$$

Заменяя в последнем равенстве $t$ на $2x$, получаем, что

$$\cos 2 x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 x)^{2 n}}{(2 n) !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n} x^{2 n}}{(2 n) !}$$

А тогда

$$y(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \cos 2 x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n} x^{2 n}}{(2 n) !}=$$ $$=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n-1} x^{2 n}}{(2 n) !}$$

Ответ. $y(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2 n-1} x^{2 n}}{(2 n) !}$

Читать дальше: монотонность функции и ее связь с производной.

Слишком сложно?

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание