Рассмотрим многочлен $n$-й степени
$P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$
Его можно представить в виде суммы степеней $x$,
взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его $n$
раз по переменной $x$, а затем найдем значения многочлена
и его производных в точке $x=0$:
$P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n} \Rightarrow P(0)=a_{0} \Rightarrow a_{0}=P(0)$
$P^{\prime}(x)=a_{1}+2 a_{2} x+\ldots+n a_{n} x^{n-1} \Rightarrow P^{\prime}(0)=a_{1} \Rightarrow a_{1}=\frac{P^{\prime}(0)}{1 !}$
$P^{\prime \prime}(x)=2 a_{2}+\ldots+n(n-1) a_{n} x^{n-2} \Rightarrow P^{\prime \prime}(0)=2 \cdot 1 \cdot a_{2} \Rightarrow a_{2}=\frac{P^{\prime \prime}(0)}{2 !}$
$P^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{n} \Rightarrow$
$\Rightarrow P^{(n)}(0)=n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{n} \Rightarrow a_{n}=\frac{P^{(n)}(0)}{n !}$
Таким образом, получаем, что
$P(x)=P(0)+\frac{P^{\prime}(0)}{1 !} x+\frac{P^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{P^{\prime \prime \prime}(0)}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{P^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$
Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена
$P(x)$ степени
$n$.
Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен
$P(x)$ по степеням разности
$(x-a)$, где
$a$ - любое число. В этом случае будем иметь:
$P(x)=P(a)+\frac{P^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{P^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{P^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}$
Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена $P(x)$ в
окрестности точки $a$.
Пример
Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию
$y(x)=x^{2}+4 x-1$ в точке
$x_{0}=2$.
Решение. Найдем производные:
$y^{\prime}(x)=\left(x^{2}+4 x-1\right)^{\prime}=2 x+4, y^{\prime}(2)=2 \cdot 2+4=8$
$y^{\prime \prime}(x)=(2 x+4)^{\prime}=2, y^{\prime \prime}(2)=2$
$y^{\prime \prime \prime}(x)=(2)^{\prime}=0, \dots$
Итак, $y^{(n)}(x)=0$,
$y^{(n)}(2)=0$,
$n \geq 3$. Значение функции в точке
$y(2)=2^{2}+4 \cdot 2-1=11$
Таким образом,
$y(x)=11+\frac{8}{1 !}(x-2)+\frac{2}{2 !}(x-2)^{3}+\frac{0}{3 !}(x-2)^{3}+0+\ldots=$
$=11+8(x-2)+(x-2)^{2}$
Ответ. $y(x)=11+8(x-2)+(x-2)^{2}$
Для произвольной функции $y=f(x)$, не являющейся многочленом,
формула Тейлора в окрестности некоторой точки $a$ принимает вид:
$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+o\left((x-a)^{n}\right)$
Последнее слагаемое $o\left((x-a)^{n}\right)$ называется
остаточным членом в форме Пеано .
Замечание
Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при
$a=0$.
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти ряд Тейлора функции $y=e^{k x}$,
где $k$ - некоторое
действительное число ,
в окрестности точки $a=0$.
Решение. Так как ряд строится в окрестности точки $a=0$,
то в этом случае надо построить ряд Маклорена. Найдем значение заданной функции и ее производных в указанной точке:
$y(0)=e^{k \cdot 0}=e^{0}=1$
$y^{\prime}(x)=\left(e^{k x}\right)^{\prime}=k e^{k x}, y^{\prime}(0)=k e^{k \cdot 0}=k$
$y^{\prime \prime}(x)=\left(k e^{k x}\right)^{\prime}=k^{2} e^{k x}, y^{\prime \prime}(0)=k^{2} e^{k \cdot 0}=k^{2}$
$y^{\prime \prime \prime}(x)=\left(k^{2} e^{k x}\right)^{\prime}=k^{3} e^{k x}, y^{\prime \prime \prime}(0)=k^{3} e^{k \cdot 0}=k^{3}$
$y^{(n)}(x)=\left(k^{n-1} e^{k x}\right)^{\prime}=k^{n} e^{k x}, y^{(n)}(0)=k^{n} e^{k \cdot 0}=k^{n}$
Следовательно, искомый ряд
$y(x)=e^{k x}=1+\frac{k}{1 !} x+\frac{k^{2}}{2 !} x^{2}+\frac{k^{3}}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{k^{n}}{n !} x^{n}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^{n} x^{n}}{n !}$
Ответ. $y(x)=e^{k x}=1+\frac{k}{1 !} x+\frac{k^{2}}{2 !} x^{2}+\frac{k^{3}}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{k^{n}}{n !} x^{n}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^{n} x^{n}}{n !}$
Читать дальше: разложение в ряд Маклорена элементарных функций .
