Формулы Маклорена и Тейлора

Рассмотрим многочлен $n$-й степени

$P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$

Его можно представить в виде суммы степеней $x$, взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его $n$ раз по переменной $x$, а затем найдем значения многочлена и его производных в точке $x=0$:

$P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n} \Rightarrow P(0)=a_{0} \Rightarrow a_{0}=P(0)$

$P^{\prime}(x)=a_{1}+2 a_{2} x+\ldots+n a_{n} x^{n-1} \Rightarrow P^{\prime}(0)=a_{1} \Rightarrow a_{1}=\frac{P^{\prime}(0)}{1 !}$

$P^{\prime \prime}(x)=2 a_{2}+\ldots+n(n-1) a_{n} x^{n-2} \Rightarrow P^{\prime \prime}(0)=2 \cdot 1 \cdot a_{2} \Rightarrow a_{2}=\frac{P^{\prime \prime}(0)}{2 !}$

$P^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{n} \Rightarrow$

$\Rightarrow P^{(n)}(0)=n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{n} \Rightarrow a_{n}=\frac{P^{(n)}(0)}{n !}$

Таким образом, получаем, что

$P(x)=P(0)+\frac{P^{\prime}(0)}{1 !} x+\frac{P^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{P^{\prime \prime \prime}(0)}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{P^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена $P(x)$ степени $n$.

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен $P(x)$ по степеням разности $(x-a)$, где $a$ - любое число. В этом случае будем иметь:

$P(x)=P(a)+\frac{P^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{P^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{P^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}$

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена $P(x)$ в окрестности точки $a$.

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию $y(x)=x^{2}+4 x-1$ в точке $x_{0}=2$.

Решение. Найдем производные:

$y^{\prime}(x)=\left(x^{2}+4 x-1\right)^{\prime}=2 x+4, y^{\prime}(2)=2 \cdot 2+4=8$

$y^{\prime \prime}(x)=(2 x+4)^{\prime}=2, y^{\prime \prime}(2)=2$

$y^{\prime \prime \prime}(x)=(2)^{\prime}=0, \dots$

Итак, $y^{(n)}(x)=0$, $y^{(n)}(2)=0$, $n \geq 3$. Значение функции в точке

$y(2)=2^{2}+4 \cdot 2-1=11$

Таким образом,

$y(x)=11+\frac{8}{1 !}(x-2)+\frac{2}{2 !}(x-2)^{3}+\frac{0}{3 !}(x-2)^{3}+0+\ldots=$

$=11+8(x-2)+(x-2)^{2}$

Ответ. $y(x)=11+8(x-2)+(x-2)^{2}$

Для произвольной функции $y=f(x)$, не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки $a$ принимает вид:

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+o\left((x-a)^{n}\right)$

Последнее слагаемое $o\left((x-a)^{n}\right)$ называется остаточным членом в форме Пеано.

Замечание

Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при $a=0$.

Пример

Задание. Найти ряд Тейлора функции $y=e^{k x}$, где $k$ - некоторое действительное число, в окрестности точки $a=0$.

Решение. Так как ряд строится в окрестности точки $a=0$, то в этом случае надо построить ряд Маклорена. Найдем значение заданной функции и ее производных в указанной точке:

$y(0)=e^{k \cdot 0}=e^{0}=1$

$y^{\prime}(x)=\left(e^{k x}\right)^{\prime}=k e^{k x}, y^{\prime}(0)=k e^{k \cdot 0}=k$

$y^{\prime \prime}(x)=\left(k e^{k x}\right)^{\prime}=k^{2} e^{k x}, y^{\prime \prime}(0)=k^{2} e^{k \cdot 0}=k^{2}$

$y^{\prime \prime \prime}(x)=\left(k^{2} e^{k x}\right)^{\prime}=k^{3} e^{k x}, y^{\prime \prime \prime}(0)=k^{3} e^{k \cdot 0}=k^{3}$

$y^{(n)}(x)=\left(k^{n-1} e^{k x}\right)^{\prime}=k^{n} e^{k x}, y^{(n)}(0)=k^{n} e^{k \cdot 0}=k^{n}$

Следовательно, искомый ряд

$y(x)=e^{k x}=1+\frac{k}{1 !} x+\frac{k^{2}}{2 !} x^{2}+\frac{k^{3}}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{k^{n}}{n !} x^{n}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^{n} x^{n}}{n !}$

Ответ. $y(x)=e^{k x}=1+\frac{k}{1 !} x+\frac{k^{2}}{2 !} x^{2}+\frac{k^{3}}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{k^{n}}{n !} x^{n}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^{n} x^{n}}{n !}$

Читать дальше: разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация