Содержание:

Пусть функция $y=f(x)$ зависит от переменной $x$ и дифференцируема в точке $x$. Может оказаться, что в точке $x$ дифференциал $d y=f^{\prime}(x) d x$, рассматриваемый как функция от $x$, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала $d(dy)$ данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции $y=f(x)$. Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

$d^2y=d(dy)$

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом $n$-го порядка $d_ny$ функции $y=f(x)$ называется дифференциал от дифференциала $(n-1)$-го порядка этой функции, то есть

$$d^{n} y=d\left(d^{n-1} y\right)$$

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть $y=f(x)$ - функция независимой переменной $x$, имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

$$d y=f^{\prime}(x) d x$$

где $dx=\Delta x$ - некоторое приращение независимой переменной $x$, которое мы задаем сами и которое не зависит от $x$. По определению

$$d^{2} y=d(d y)=d\left(f^{\prime}(x) d x\right)$$

Переменной является аргумент $x$. Значит, для дифференциала величина $dx$ является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

$$d^{2} y=d\left(f^{\prime}(x) d x\right)=d x \cdot d\left(f^{\prime}(x)\right)$$

Для вычисления дифференциала $d\left(f^{\prime}(x)\right)$ применим формулу дифференциала первого порядка к функции $f^{\prime}(x)$. Тогда получим:

$$d\left(f^{\prime}(x)\right)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime} \cdot d x=d x \cdot f^{\prime \prime}(x) d x=f^{\prime \prime}(x)(d x)^{2}=f^{\prime \prime}(x) d x^{2}$$

Итак,

$$d^{2} y=f^{\prime \prime}(x) d x^{2}$$

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала $n$-го порядка:

$$d^{n} y=f^{n}(x) d x^{n}$$

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции $y(x)=4x^3-12x+5$

Решение. По формуле

$$d^{3} y=y^{\prime \prime \prime}(x) d x^{3}$$

Найдем третью производную заданной функции:

$$\begin{array}{c} y^{\prime}(x)=\left(4 x^{3}-12 x+5\right)^{\prime}=\left(4 x^{3}\right)^{\prime}-(12 x)^{\prime}+(5)^{\prime}= \\ 4\left(x^{3}\right)^{\prime}-12(x)^{\prime}+0=4 \cdot 3 x^{2}-12 \cdot 1=12 x^{2}-12 \\ y^{\prime \prime}(x)=\left(y^{\prime}(x)\right)^{\prime}=\left(12 x^{2}-12\right)^{\prime}=\left(12 x^{2}\right)^{\prime}-(12)^{\prime}= \\ =12\left(x^{2}\right)^{\prime}-0=12 \cdot 2 x=24 x \\ y^{\prime \prime \prime}(x)=\left(y^{\prime \prime}(x)\right)^{\prime}=(24 x)^{\prime}=24(x)^{\prime}=24 \end{array}$$

Тогда

$$d^{3}y=24dx^3$$

Ответ. $d^{3}y=24dx^3$

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция $y=f(u(x))$. Тогда

$$d y=f^{\prime}(u) d u$$

где $d u=u^{\prime}(x) d x$ в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции $f^{\prime}(u) d u$ берем как дифференциал от произведения

$$d^{2} y=d\left(f^{\prime}(u) d u\right)=d\left(f^{\prime}(u)\right) \cdot d u+f^{\prime}(u) \cdot d(d u)=f^{\prime \prime}(u) d u^{2}+f^{\prime}(u) d^{2} u$$

Слишком сложно?

Дифференциалы высших порядков не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка $d^{2}u$ функции $f(u)=\sqrt{u}$, где $u(x)=3x+7$ и $x$ - независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

$$d^{2} y=f^{\prime \prime}(u) d u^{2}+f^{\prime}(u) d^{2} u$$

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

$$\begin{array}{c} f^{\prime}(u)=(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \\ f^{\prime \prime}(u)=\left(f^{\prime}(u)\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot\left(u^{-\frac{1}{2}}\right)^{\prime}= \\ =\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot u^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4 \sqrt{u^{3}}} \\ d u=d(3 x+7)=(3 x+7)^{\prime} d x=\left[(3 x)^{\prime}+(7)^{\prime}\right] d x= \\ =\left[3(x)^{\prime}+0\right] d x=3 \cdot 1 \cdot d x=3 d x \\ d^{2} u=d(3 d x)=d x \cdot d(3)=d x \cdot 0=0 \end{array}$$

А тогда:

$$\begin{aligned} d^{2} y=&-\frac{1}{4 \sqrt{u^{3}}} d u^{2}+\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 0=-\frac{1}{4 \sqrt{u^{3}}} \cdot(3 d x)^{2}=\\ &=-\frac{9}{4 \sqrt{u^{3}}} d x^{2}=-\frac{9}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2} \end{aligned}$$

2-ой способ. Из того, что $f(u)=\sqrt{u}$ и $u(x)=3 x+7$, получаем:

$$f(x)=\sqrt{3 x+7}$$

А тогда

$$d^{2} y=f^{\prime \prime}(x) d x^{2}$$

Найдем вторую производную функции $f(x)=\sqrt{3 x+7}$:

$$f^{\prime}(x)=(\sqrt{3 x+7})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{3 x+7}} \cdot(3 x+7)^{\prime}=$$ $$=\frac{1}{2 \sqrt{3 x+7}} \cdot\left[(3 x)^{\prime}+(7)^{\prime}\right]=\frac{1}{2 \sqrt{3 x+7}} \cdot\left[3(x)^{\prime}+0\right]=$$ $$=\frac{3 \cdot 1}{2 \sqrt{3 x+7}}=\frac{3}{2 \sqrt{3 x+7}}$$ $$f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}=\left(\frac{3}{2 \sqrt{3 x+7}}\right)^{\prime}=\frac{3}{2}\left((3 x+7)^{-\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=$$ $$=\frac{3}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(3 x+7)^{-\frac{3}{2}} \cdot(3 x+7)^{\prime}=$$ $$=-\frac{3}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}} \cdot\left[(3 x)^{\prime}+(7)^{\prime}\right]=-\frac{3}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}} \cdot 3(x)^{\prime}=$$ $$=-\frac{3 \cdot 3 \cdot 1}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}}=-\frac{9}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}}$$

Окончательно имеем:

$$d^{2} y=-\frac{9}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$$

Ответ. $d^{2} y=-\frac{9}{4 \sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$

Читать дальше: производная функции, заданной неявно.