Понятие определителя матрицы

Определение

Квадратной матрице $ A=\left( \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\dots} & {a_{n n}}\end{array}\right) $ $n$-го порядка ставиться в соответствие число $ |A|=\operatorname{det} A=\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\dots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\dots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} & {\ldots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\dots} & {a_{n n}}\end{array}\right| $, называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей:

Замечание

Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.

1°    При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: $ |A|=\left|A^{t}\right| $

Пример

Известно, что определитель матрицы $ A=\left( \begin{array}{ll}{a} & {d} \\ {b} & {c}\end{array}\right) $ равен 3. Тогда определитель матрицы $ \left( \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {d} & {c}\end{array}\right) $ , которая равна $ A^{T} $, также равен 3.

2°    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

$ \left| \begin{array}{rr}{2} & {4} \\ {-3} & {8}\end{array}\right|=2 \cdot \left| \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {-3} & {8}\end{array}\right| $

3°    $ |\lambda \cdot A|=\lambda^{n} \cdot|A| $

То есть, если квадратная матрица $ A_{n \times n} $ $n$-го порядка умножается на некоторое ненулевое число $ \lambda $, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы $A$ на число $ \lambda $ в степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы $A$ третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы $ B=2 A $ .

Решение. По свойству $ \left|B_{3 \times 3}\right|=\left|2 A_{3 \times 3}\right|=2^{3} \cdot|A|=8 \cdot|A|=8 \cdot 3=24 $

Ответ. $ |B|=24 $

4°    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

$$ \left| \begin{array}{ccc}{b_{11}+c_{11}} & {b_{12}+c_{12}} & {b_{13}+c_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{b_{11}} & {b_{12}} & {b_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{ccc}{c_{11}} & {c_{12}} & {c_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right| $$

5°    Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

$ \left| \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{ll}{2} & {3} \\ {1} & {1}\end{array}\right| $

6°    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

$ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {1} & {0} & {-7} \\ {1} & {2} & {3}\end{array}\right|=0 $

7°    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

$ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {-1} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {-1} & {2} & {2} \\ {2 \cdot 1} & {2 \cdot 2} & {2 \cdot 3}\end{array}\right|=0 $

8°    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

$ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {2} & {3} & {1}\end{array}\right|=0 $

9°    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка $ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {0} \\ {1} & {0} & {-1} \\ {2} & {3} & {1}\end{array}\right| $ . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

$$ \left| \begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {0} \\ {1} & {0} & {-1} \\ {2} & {3} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {0} \\ {1+2} & {0+3} & {-1+1} \\ {2} & {3} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {0} \\ {3} & {3} & {0} \\ {2} & {3} & {1}\end{array}\right| $$

10°    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

$ \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {0} & {3} & {0} \\ {0} & {2} & {4} & {1} \\ {0} & {0} & {5} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot(-1)=-10 $

11°    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: $ |A \cdot B|=|A| \cdot|B| $


Читать дальше: минор и алгебраическое дополнение.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация