Матрица размера $n \times n$ называется квадратной, число $n$ называется порядком матрицы.
Содержание:
Определение
Пример
$A_{2 \times 2}=\left(\begin{array}{rr} 1 & -3 \\ 7 & 2 \end{array}\right)$ - квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.
Определение
Матрица $\Theta$ называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. $a_{i j}=0, \forall i, j$.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Пример
$$\Theta=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$$
Определение
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.
Пример
$B=(1 3 7)$ - вектор-строка; $B=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}\right)$ - вектор-столбец.
Диагональные матрицы
Определение
Квадратная матрица $D$ называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.
Пример
$$D=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)=\operatorname{diag}(1 ; 0 ; 3)$$
Определение
Скалярной называется диагональная матрица $S$, у которой все диагональные элементы равны между собой.
Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.
Пример
$$S=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)$$
Определение
Единичной матрицей $E_{n}$ называется скалярная матрица порядка $n$, диагональные элементы которой равны 1.
Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто $E$.
Пример
$E_{2}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.
Треугольные матрицы
Определение
Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.
Замечание. Диагональная матрица - это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.
Пример
$C=\left(\begin{array}{lll} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$ - верхнетреугольная матрица.
Ступенчатая матрица
Определение
Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
- если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
- если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером $i$, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем $i$.
Другое определение ступенчатой матрицы.
Определение
Ступенчатой называется матрица, которая содержит $m$ строк и у которой первые $r \leq m$ диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних $m-r$ строк равны нулю, то есть это матрица вида:
$$A=\left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 r} & \ldots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2 r} & \ldots & a_{2 n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \ldots & a_{3 r} & \ldots & a_{3 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{r r} & \ldots & a_{r n} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end{array}\right)$$
Определение
Главным элементом некоторой строки матрицы $A$ называется ее первый ненулевой элемент.
Пример
Задание. Найти главные элементы каждой строки матрицы $A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
Решение. Главный элемент первой строки - это первый ненулевой элемент этой строки, а поэтому $a_{11}=1$ - главный элемент строки под номером 1; аналогично $a_{23}=1$ - главный элемент второй строки.
Другое определение ступенчатой матрицы.
Определение
Матрица $A$ называется ступенчатой, если:
- все ее нулевые строки стоят после ненулевых;
- в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.
По определению к ступенчатым матрицам будем относить нулевую матрицу $\Theta$, а также матрицу, которая содержит одну строку.
Пример
Примеры ступенчатых матриц:
$A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$, $B=(1 2 3 4)$, $C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$, $F=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -7 \end{array}\right)$
Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:
$A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$
Пример
Задание. Выяснить, является ли матрица $A=\left(\begin{array}{llllll} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ ступенчатой.
Решение. Проверяем выполнение условий из определения:
- все строки под первой нулевой строкой матрицы (четвертая строка) являются нулевыми;
- первый ненулевой элемент строки № 1 находится во втором столбце, значит, первый ненулевой элемент второй строки должен находиться, по крайней мере, в третьем столбце - выполняется, т.к. первый ненулевой элемент второй строки $a_{23} = 3 \neq 0$ находится в третьем столбце; аналогично, первый ненулевой элемент третьей строки находится в шестом столбце, а первый ненулевой элемент предыдущей, второй, строки, находится в столбце с номером 3 и 3
Итак, заданная матрица $A$ является ступенчатой.
Читать дальше: операции над матрицами.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
