Умножение матрицы на число

Определение

Произведением матрицы $A$ на ненулевое число $ \lambda $ называется матрица $ B=\lambda A $ того же порядка, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

$$ B=\lambda A \Longrightarrow b_{i j}=\lambda a_{i j} $$

Итак, в результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число, то есть $ \lambda A = A \lambda $.

Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Данная операция, вместе с операцией сложения матриц, относится к линейным операциям над матрицами.

Пример

Задание. Чему равна матрица $-3A$, если матрица $ A=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {3} \\ {0} & {2}\end{array}\right) $ ?

Решение. $ -3 A=3 \cdot \left( \begin{array}{rr}{-1} & {3} \\ {0} & {2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-3 \cdot(-1)} & {-3 \cdot 3} \\ {-3 \cdot 0} & {-3 \cdot 2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc}{3} & {-9} \\ {0} & {-6}\end{array}\right) $

Ответ. $ -3 A=\left( \begin{array}{ll}{3} & {-9} \\ {0} & {-6}\end{array}\right) $

Свойства умножения матрицы на число:

  1. $ 1 \cdot A=A $
  2. $ 0 \cdot A=\Theta $
  3. $ \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B $
  4. $ (\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A $
  5. $ (\lambda \mu) A=\lambda(\mu A) $

Читать дальше: сложение и вычитание матриц.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация