Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Определение

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

$$A_{m \times n}=B_{m \times n} \Leftrightarrow a_{i j}=b_{i j}, i=\overline{1, m} ; j=\overline{1, n}$$

Пример

$A=\left( \begin{array}{cc}{2} & {3}\end{array}\right)$, $B=\left( \begin{array}{cc}{4-2} & {2+1}\end{array}\right)$. Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: $A_{1 \times 2}$ и $B_{1 \times 2}$, а также соответствующие элементы: $a_{11}=2=b_{11}=4-2=2$; $a_{12}=3=b_{12}=2+1=3$

Пример

Задание. Пусть задана матрица $A=\left( \begin{array}{ll}{a} & {c} \\ {b} & {d}\end{array}\right)$ . Найти все элементы матрицы $A$, если известно, что она равна матрице $B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {3} \\ {0} & {0}\end{array}\right)$

Решение. Так как матрицы $A$ и $B$ равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Ответ. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Произведение матрицы на число

Определение

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Пример

Задание. Пусть $A=\left( \begin{array}{r}{3} \\ {-1}\end{array}\right)$. Найти матрицу $2A$.

Решение. $2 A=2 \cdot \left( \begin{array}{r}{3} \\ {-1}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}{2 \cdot 3} \\ {2 \cdot(-1)}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{r}{6} \\ {-2}\end{array}\right)$

Ответ. $2 A=\left( \begin{array}{r}{6} \\ {-2}\end{array}\right)$

Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Пример

Задание. Найти $A+B$, если $A=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \\ {2} & {0} & {-1}\end{array}\right)$, $B=\left( \begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \\ {4} & {6} & {2}\end{array}\right)$

Решение. $C=A+B=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \\ {2} & {0} & {-1}\end{array}\right)+\left( \begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \\ {4} & {6} & {2}\end{array}\right)=$

$=\left( \begin{array}{rrr}{1+5} & {-2+2} & {4+3} \\ {2+4} & {0+6} & {-1+2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}{6} & {0} & {7} \\ {6} & {6} & {1}\end{array}\right)$

Ответ. $C=\left( \begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \\ {6} & {6} & {1}\end{array}\right)$

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы $A$, $B$ и $C$ - матрицы одного размера.

  1. Ассоциативность $(A+B)+C=A+(B+C)$
  2. $A+\Theta=\Theta+A$, где $\Theta$ - нулевая матрица соответствующего размера.
  3. $A-A=\Theta$
  4. Коммутативность $A+B=B+A$
  5. Дистрибутивность $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$
  6. $(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A$
  7. $(\lambda \mu) A=\lambda(\mu A)$

Произведение двух матриц

Определение

Произведением матрицы $A_{m \times n}$ на матрицу $B_{n \times k}$ называется матрица $C_{m \times k}$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $C_{ij}$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Пример

Задание. Найти $AB$, если $A=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {0} \\ {3} & {1} & {-1}\end{array}\right)$ , $B=\left( \begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right)$

Решение. Так как $A=A_{2 \times 3}$, а $B=B_{3 \times 1}$, то в результате получим матрицу размера $C=C_{2 \times 1}$, т.е. матрицу вида $C=\left( \begin{array}{c}{c_{11}} \\ {c_{21}}\end{array}\right)$ . Найдем элементы данной матрицы:

$c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}+a_{13} \cdot b_{31}=1 \cdot 1+2 \cdot 2+0 \cdot 3=5 $ $c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}+a_{23} \cdot b_{31}=3 \cdot 1+1 \cdot 2+(-1) \cdot 3=2 $

Таким образом, получаем, что:

$C=A B=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {2}\end{array}\right)$

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

$A B=\left( \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {0} \\ {3} & {1} & {-1}\end{array}\right)_{2 \times 3} \cdot \left( \begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right)_{3 \times 1}=\left( \begin{array}{c}{1 \cdot 1+2 \cdot 2+0 \cdot 3} \\ {3 \cdot 1+1 \cdot 2+(-1) \cdot 3}\end{array}\right)$

Ответ. $C=A B=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {2}\end{array}\right)$


Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность $(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)$
  2. Ассоциативность по умножению $(\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B)$
  3. Дистрибутивность $A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$ , $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C$
  4. Умножение на единичную матрицу $E_{m} \cdot A_{m \times n}=A_{m \times n} \cdot E_{n}=A_{m \times n}$
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $A B \neq B A$
  6. $E A=A$

Транспонирование матриц

Определение

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Пример

Задание. Найти транспонированную матрицу $A^{T}$, если $A=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {3} & {7} \\ {2} & {4} & {-1}\end{array}\right)$

Решение. $A^{T}=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {3} & {7} \\ {2} & {4} & {-1}\end{array}\right)^{T}=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {3} & {4} \\ {7} & {-1}\end{array}\right)$


Свойства транспонирования матриц:

  1. $\left(A^{T}\right)^{T}=A $
  2. $(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot A^{T} $
  3. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} $
  4. $(A \cdot B)^{T}=B^{T} \cdot A^{T} $

Читать дальше: умножение матрицы на число.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация