Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:

$$ A_{m \times n}+B_{m \times n}=C_{m \times n} ; c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}, i=\overline{1 ; m}, j=\overline{1 ; n} $$

Замечание

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Пример

Задание. Найти $A+B$, если $ A=\left( \begin{array}{ll}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right) $

Решение. $ C=A+B=\left( \begin{array}{cc}{1} & {4} \\ {2} & {3}\end{array}\right)_{2 \times 2}+\left( \begin{array}{ll}{4} & {4} \\ {5} & {2}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{cc}{1+4} & {4+4} \\ {2+5} & {3+2}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $

Ответ. $ A+B=\left( \begin{array}{ll}{5} & {8} \\ {7} & {5}\end{array}\right) $

Свойства сложения и вычитания матриц:

  1.   Ассоциативность $ (A+B)+C=A+(B+C) $
  2.   $ A+\Theta=\Theta+A $, где $\Theta$ - нулевая матрица соответствующего размера.
  3.   $ A-A=\Theta $
  4.   Коммутативность $ A+B=B+A $

Разность матриц

Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число.

Вычитание матриц вводится следующим образом: $ A-B=A+(-1) \cdot B $

То есть к матрице $A$ прибавляется матрица $B$, умноженная на (-1).

Определение

Разностью матриц $A$ и $B$ одного и того же размера называется матрица $C = A-B$ такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице $A$ матрицы $B$, умноженной на (-1).

На практике же от элементов матрицы $A$ попросту отнимают соответствующие элементы матрицы $B$ при условии, что заданные матрицы одного размера.

Замечание

Вычитать можно только матрицы одинакового размера.

Пример

Задание. Найти матрицу $ C=A-3 B $, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right) $

Решение. $ C=A-3 B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-3 \cdot \left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {1} & {2} \\ {0} & {0}\end{array}\right)= $

$ \left( \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {2} & {-1} \\ {3} & {0}\end{array}\right)-\left( \begin{array}{rr}{-3} & {3} \\ {3} & {6} \\ {0} & {0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{1-(-3)} & {2-3} \\ {2-3} & {-1-6} \\ {3-0} & {0-0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $

Ответ. $ C=\left( \begin{array}{rr}{4} & {-1} \\ {-1} & {-7} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $

Читать дальше: умножение матриц.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация