Определение

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.

Орт координатной оси $O x$ обозначается через $\bar{i}$, оси $O y$ - через $\bar{y}$, оси $O z$ - через $\bar{k}$ (рис. 1).

Для любого вектора $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ , который лежит в плоскости $xO y$, имеет место следующее разложение: $\bar{a}=a_{x} \bar{i}+a_{y} \bar{j}$

Если вектор $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: $\bar{a}=a_{x} \bar{i}+a_{y} \bar{j}+a_{z} \bar{k}$

Пример

Задание. Зная разложение $\bar{a}$ по базисной системе векторов: $\bar{a}=3 \bar{i}-\bar{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $\bar{a}=3 \bar{i}-0 \cdot \bar{j}-\bar{k}$, получаем, что $\bar{a}=(3 ; 0 ;-1)$

Слишком сложно?

Разложение вектора по ортам координатных осей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Вектор $\bar{a}$ задан своими координатами: $\bar{a} = (2; -1; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:

$$\bar{a}=2 \bar{i}-\bar{j}+5 \bar{k}$$

Читать дальше: линейно зависимые и линейно независимые векторы.