Векторное произведение векторов

Определение

Векторным произведением ненулевых векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется вектор $\overline{c}$, обозначаемый символом $[\overline{a}, \overline{b}]$ или $\overline{a} \times \overline{b}$, длина которого $|\bar{c}|=|\bar{a}||\bar{b}| \sin (\bar{a}, \bar{b})$ (рис. 1).

Свойства векторного произведения:

1°    $[\overline{a}, \overline{b}]=\overline{0}$, тогда и только тогда, когда $\overline{a} \| \overline{b}$

2°    $[\overline{a}, \overline{b}]=-[\overline{b}, \overline{a}]$

3°    Модуль векторного произведения $|[\overline{a}, \overline{b}]|$ равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 2), т.е.

$[\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}]$

$\left[\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}\right]=\left[\overline{a}_{1}, \overline{b}\right]+\left[\overline{a}_{2}, \overline{b}\right] ;\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}\right]=\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}\right]+\left[\overline{a}, \overline{b}_{2}\right]$

4°    $[\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}]$

5°    $\left[\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}\right]=\left[\overline{a}_{1}, \overline{b}\right]+\left[\overline{a}_{2}, \overline{b}\right] ;\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}\right]=\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}\right]+\left[\overline{a}, \overline{b}_{2}\right]$

Если векторы заданы своими координатами $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$, то векторное произведение находится по формуле:

$[\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}}\end{array}\right|$

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Читать дальше: смешанное произведение векторов.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация