Определение

Линейной комбинацией векторов $\bar{a}_{1}, \bar{a}_{2}, \ldots, \bar{a}_{n}$ называется выражение вида:$\alpha_{1} \bar{a}_{1}+\alpha_{2} \bar{a}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \bar{a}_{n}$

где $\bar{a}_{1}, \bar{a}_{2}, \ldots, \bar{a}_{n}$ - произвольные числа.

Определение

Линейная комбинация $\alpha_{1} \bar{a}_{1}+\alpha_{2} \bar{a}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \bar{a}_{n}$ называется тривиальной, если все коэффициенты $\bar{a}_{1}, \bar{a}_{2}, \ldots, \bar{a}_{n}$ равны нулю одновременно: $0 \cdot \bar{a}_{1}+0 \cdot \bar{a}_{2}+\ldots+0 \cdot \bar{a}_{n}$

Линейная комбинация $\alpha_{1} \bar{a}_{1}+\alpha_{2} \bar{a}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \bar{a}_{n}$ называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов $\bar{a}_{1}, \bar{a}_{2}, \ldots, \bar{a}_{n}$ отличен от нуля.

Определение

Ненулевые векторы $\alpha_{1} \bar{a}_{1}+\alpha_{2} \bar{a}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \bar{a}_{n}$ называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору: $\alpha_{1} \bar{a}_{1}+\alpha_{2} \bar{a}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \bar{a}_{n}=\overline{0}$

Пример

$$2 \cdot \bar{a}_{1}+0 \cdot \bar{a}_{2}-3 \cdot \bar{a}_{3}=\overline{0}$$

Определение

Ненулевые векторы $\alpha_{1} \bar{a}_{1}+\alpha_{2} \bar{a}_{2}+\ldots+\alpha_{n} \bar{a}_{n}$ называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

$$0 \cdot \bar{a}_{1}+0 \cdot \bar{a}_{2}+0 \cdot \bar{a}_{3}=\overline{0}$$

Свойства линейно зависимых векторов:

  1. Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Верно и обратное утверждение.
  2. Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны. Верно и обратное.
  3. Четыре произвольных вектора всегда линейно зависимы.

Читать дальше: cкалярное произведение векторов.