Операции над векторами

Определение

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение и вычитание векторов

Определение

Сложение векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ осуществляется по правилу треугольника.

Суммой $\overline{a}+\overline{b}$ двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называют такой третий вектор $\overline{c}$, начало которого совпадает с началом $\overline{a}$, а конец - с концом $\overline{b}$ при условии, что конец вектора $\overline{a}$ и начало вектора $\overline{b}$ совпадают (рис. 1).

Сумма векторов по правилу треугольника

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ привести к общему началу, то вектор $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$ совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 2). Причем начало вектора $\overline{c}$ совпадает с началом заданных векторов.

Сумма векторов по правилу параллелограмма

Определение

Вектор $-\overline{a}$ называется противоположным вектором к вектору $\overline{a}$, если он коллинеарен вектору $\overline{a}$, равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору $\overline{a}$.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

  1. $\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}$ - коммутативность
  2. $(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$ - ассоциативность
  3. $\overline{a}+\overline{0}=\overline{a}$
  4. $\overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0}$
Определение

Разностью $\overline{a}-\overline{b}$ векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется вектор $\overline{c}$ такой, что выполняется условие: $\overline{b}+\overline{c}=\overline{a}$ (рис. 3).

Разность векторов, рисунок

Умножение вектора на число

Определение

Произведением $\alpha \overline{a}$ вектора $\overline{a}$ на число $\alpha$ называется вектор $\overline{b}$, удовлетворяющий условиям:

  1. $\overline{b}\|\overline{a}$
  2. $|\overline{b}|=|\alpha||\vec{a}|$
  3. $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$, если $\alpha>0$, $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$, если $\alpha<0$.

Свойства умножения вектора на число:

  1. $(\alpha \pm \beta) \overline{a}=\alpha \overline{a} \pm \beta \overline{a}$
  2. $\alpha(\overline{a} \pm \overline{b})=\alpha \overline{a} \pm \alpha \overline{b}$
  3. $\alpha(\beta \overline{a})=(\alpha \beta) \overline{a}=\beta(\alpha \overline{a})$
  4. $1 \cdot \overline{a}=\overline{a}$
  5. $-1 \cdot \overline{a}=-\overline{a}$
  6. $0 \cdot \overline{a}=\overline{0}$

Здесь $\overline{a}$ и $\overline{b}$ - произвольные векторы, $\alpha$, $\beta$ - произвольные числа.


Читать дальше: разложение вектора на составляющие.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация