Смешанное произведение векторов

Определение

Смешанным произведением трех векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ называется число, равное скалярному произведению вектора $\overline{a} \times \overline{b}$ на вектор $\overline{c}$: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})$

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов $\{\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\}$ правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=V$. В случае левой тройки $\{\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\}$ смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=-V$. Если $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$ компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$ равен модулю смешанного произведения этих векторов:

$$V_{\text {парал }}=|(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})|$$

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

$$V_{\text {пир }}=\frac{1}{6}|(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})|$$

Свойства смешанного произведения:

1°    $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])$

2°    $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a})=(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})=-(\overline{b}, \overline{a}, \overline{c})=-(\overline{c}, \overline{b}, \overline{a})=-(\overline{a}, \overline{c}, \overline{b})$

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=0$

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})>0$. Если же $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})<0$, то векторы $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$ образуют левую тройку векторов.

5°    $(\lambda \overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \lambda \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \lambda \overline{c})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$

6°    $\left(\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}_{1}, \overline{b}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)$

7°    $\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}_{2}, \overline{c}\right)$

8°    $\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}+\overline{c}_{2}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{2}\right)$

9°    $([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{a}(\overline{b}, \overline{c}) ;(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{c}(\overline{a}, \overline{b})$

10°    Тождество Якоби: $(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])+(\overline{b},[\overline{c}, \overline{a}])+(\overline{c},[\overline{a}, \overline{b}])=0$

Если векторы $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$ и $\overline{c}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {c_{3}}\end{array}\right|$

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$, $\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$, $\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$:

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$

$-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$

$$V_{\text {пир }}=\frac{1}{6}|(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}(\text { куб. ед. })$$

Читать дальше: свойства векторов.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация