Определение

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня.

1
$$\log _{a}\left({ }^{n} \sqrt{b}\right)=\frac{1}{n} \cdot \log _{a} b, a>0, a \neq 1, b>0$$

Пример

Задание. Вычислить $\log _{a} \sqrt{a b}$, если $\log _{a} b=7$

Решение. Перепишем данное выражение - сначала воспользуемся свойством логарифма корня, затем используем свойство логарифма произведения:

$$\log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \log _{a}(a b)=\frac{1}{2}\left(\log _{a} a+\log _{a} b\right)=\frac{1}{2}(1+7)=4$$

Ответ. $\log _{a} \sqrt{a b}=4$

Верно и обратное:

Определение

Можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.

2
$$\frac{1}{n} \cdot \log _{a} b=\log _{a}\left({ }^{n} \sqrt{b}\right), a, b>0, a \neq 1$$

Слишком сложно?

Логарифм корня не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Упростить выражение $\frac{1}{2} \log _{8} 16+\log _{8} 2$

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма корня и логарифма произведения:

$$\frac{1}{2} \log _{8} 16+\log _{8} 2=\log _{8} \sqrt{16}+\log _{8} 2=$$ $$=\log _{8} 4+\log _{8} 2=\log _{8}(4 \cdot 2)=\log _{8} 8=1$$

Ответ. $\frac{1}{2} \log _{8} 16+\log _{8} 2=1$

Читать дальше: число е.