Логарифм степени

Определение

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

1

$\log _{a} b^{p}=p \cdot \log _{a} b, a>0, a \neq 1, b^{p}>0$

Пример

Задание. Вычислить $\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25$

Решение. Перепишем данное выражение - сначала воспользуемся свойством логарифма степени и вынесем все степени за знак логарифма, затем используем равенство $\log _{a} a=1$:

$\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25=\log _{2} 2^{-3}+\log _{5} 5^{2}=-3 \cdot \log _{2} 2+2 \cdot \log _{5} 5=$

$=-3+2=-1$

Ответ. $\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25=-1$

Верно и обратное:

Определение

Коэффициент перед логарифмом можно вносить в степень подлогарифмической функции.

2

$p \log _{a} b=\log _{a} b^{p}, a, b>0, a \neq 1$

Пример

Задание. Упростить выражение $2 \log _{7} 4-\log _{7} 8$

Решение. Перепишем данное выражение - сначала воспользуемся свойством логарифма степени и внесем двойку под логарифм, затем используем свойство разности логарифмов:

$2 \log _{7} 4-\log _{7} 8=\log _{7} 4^{2}-\log _{7} 8=\log _{7} 16-\log _{7} 8=$

$=\log _{7} \frac{16}{8}=\log _{7} 2$

Ответ. $2 \log _{7} 4-\log _{7} 8=\log _{7} 2$

Читать дальше: логарифм корня.

Другая информация