Комплексно сопряженные числа

Определение

Если $z=a+b i$, то число $\overline{z}=a-b i$ называется комплексным сопряженным к числу $z$ .

$\overline{z}=a-b i$

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу $z=2-i$ есть число $\overline{z}=2+i$ .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Если $z=\overline{z}$, то можно сделать вывод, что рассматриваемое число $z$ является действительным.

Например. $z=2 \in R \Rightarrow \overline{z}=2$ и $z=\overline{z}$

2) Для любого комплексного числа $z$ сумма $z+\overline{z}=2 \operatorname{Re} z$ - действительное число.

Например. Пусть $z=2-3 i$, тогда $\overline{z}=2+3 i$, а тогда

$z+\overline{z}=2-3 i+(2+3 i)=2-3 i+2+3 i=2+2=4 \in R$

3) Для произвольного комплексного числа $z=a+b i$ произведение $z \cdot \overline{z}=|z|^{2} \in R$ .

Например. Пусть $z=2-3 i$, комплексно сопряженное к нему число $\overline{z}=2+3 i$, тогда произведение

$z \cdot \overline{z}=(2-3 i)(2+3 i)=2^{2}-(3 i)^{2}=2^{2}-3^{2} \cdot i^{2}=$

4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: $|z|=|\overline{z}|$, а аргументы отличаются знаком (рис. 1).

5)  $\overline{z_{1} \pm z_{2}}=\overline{z}_{1} \pm \overline{z}_{2}$

6)  $\overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z}_{2}$

7)  $\frac{\overline{z_{1}}}{z_{2}}=\frac{\overline{z}_{1}}{\overline{z}_{2}}$

8)  $\overline{(\overline{z})}=z$

9) Если $z=a+b i$ и $\overline{z}=a-b i$ - комплексно сопряженные числа, то

$a=\operatorname{Re} z=\frac{z+\overline{z}}{2}, b=\operatorname{Im} z=\frac{z-\overline{z}}{2 i}$


Читать дальше: формы записи комплексного числа.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация