Содержание:

Формула

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника (рис. 1), нужно квадрат его стороны умножить на $\sqrt{3}$ и поделить на четыре, то есть

$$\mathrm{S}_{\Delta}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$$

Эту формулу легко получить из общей формулы для площади треугольника

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \alpha$$

при условии, что $a=b$ (так как треугольник равносторонний) и $\alpha=60^{\circ}$ (угол равностороннего треугольника).

Напомним, что треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Примеры вычисления площади равностороннего треугольника

Пример

Задание. Найти площадь равностороннего треугольника $ABC$, если известно, что его сторона равна 2 дм.

Решение. Подставив заданное значение в формулу, будем иметь:

$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{2^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$ (дм2)

Ответ. $\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\sqrt{3}$ (дм2)

Слишком сложно?

Как найти площадь равностороннего треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти площадь равностороннего треугольника $ABC$, если его высота равна 3 м.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

Так треугольник равносторонний, то его высота $BH$ является и медианой, а это означает, что $AH=HC$ .

Пусть $HC=x$, тогда $AC=2HC=2x=BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Записываем для него теорему Пифагора:

$$B C^{2}=B H^{2}+H C^{2}$$ $$(2 x)^{2}=2^{2}+x^{2}$$

Решаем полученное уравнение относительно $x$ :

$4 x^{2}-x^{2}=9 \Rightarrow 3 x^{2}=9 \Rightarrow x^{2}=3 \Rightarrow H C=x=\sqrt{3}$ (м)

Отсюда получаем, что

$A C=2 x=2 \sqrt{3}$ (м)

А тогда искомая площадь

$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{(2 \sqrt{3})^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{12 \sqrt{3}}{4}=3 \sqrt{3}$ (м2)

Ответ. $\mathrm{S}_{\Delta A B C}=3 \sqrt{3}$ (м2)

Читать дальше: как найти площадь круга.