Содержание:

Формулы

Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1). То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $\alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \alpha$$

Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2), и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне - $h_{a}$, то имеет место формула:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$

Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины всех его трех сторон $a$, $b$ и $c$, нужно воспользоваться формулой Герона:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p=\frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.


Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нужно радиус $r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр $p$ треугольника:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=r p$$

Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса $R$, описанной около треугольника окружности:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{a b c}{4 R}$$

Примеры вычисления площади треугольника

Пример

Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^{\circ}$.

Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть

$\begin{aligned} \mathrm{S}_{\Delta A B C}=& \frac{1}{2} a b \sin \alpha=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 30^{\circ}=\\ &=\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{15}{4}\left(\mathrm{cm}^{2}\right) \end{aligned}$

Ответ. $\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{15}{4}$ (см2)

Слишком сложно?

Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см2 ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$

то отсюда получаем, что искомая высота

$h_{a}=\frac{2 \mathrm{S}_{\Delta A B C}}{a}=\frac{2 \cdot 6}{2}=6$ (см)

Ответ. $h_{a}=6$ (см)

Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.