Чтобы сформулировать теорему об умножении вероятностей, первоначально необходимо дать несколько ключевых определений.

Определение 1

Умножение событий

Случай, когда события А и В проявляются одновременно, называют произведением $А\cdot B$

Определение 2

Произведение нескольких событий

Случай, когда события А, В, С и другие, заданные условиями задачи происходят одновременно, называются произведением всех этих событий

Определение 3

Случайное событие

Случайное событие — это такое событие, которое при каком-то наборе условий может как выполнится, так и не выполнится.

Определение 4

Условная и безусловная вероятность

Безусловной называют такую вероятность, если кроме набора условий случайного события не налагается никаких других ограничений на выполнение события. При этом условной будет называться такая вероятность $Р_А(В)$ события В, которое осуществляется только в том случае, если событие А уже произошло.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность того, что совместно произойдут два события, является произведением вероятности того, что произойдёт первое, и условной вероятности другого, определённой для случая, что произошло первое.

$Р(А\cdot B)=P(A)\cdot P_A(B)$

Доказательство теоремы умножения

Назовём букву n — полным количеством элементарных результатов эксперимента, букву m — количество элементарных результатов эксперимента при которых случается событие А, k — количество элементарных результатов эксперимента при которых происходят одновременно и событие А и событие В. Определив данные условия можем сделать следующую запись:

$Р(АВ)=\frac{k}{n}= \frac{k}{n}\cdot \frac{m}{m}= \frac{m}{n}\cdot \frac{k}{m}=P(A)\cdot P_A(B)$.

Пример 1

Предположим, что у нас есть непрозрачная корзина, в которую положили 3 шара черного цвета и 3 шара белого цвета. Эксперимент проводится следующим образом — из корзины поочерёдно, два раза, вынимают шары. После выемки их не возвращают обратно. Необходимо вычислить вероятность события В — при второй выемке извлечён белый шар — при условии, что во время первой выемки (событие А) был извлечён черный шар.

Если произошло событие А, то в корзине лежит лишь пять шаров, из которых 2 чёрные и 3 белые. Тогда вероятность события В должна быть вычислена следующим образом:

$Р_А(В)=\frac{3}{5}$

Тот же результат не трудно получить используя теорему умножения вероятностей. Если взять формулу $Р(А\cdot B)=P(A)\cdot P_A(B)$ при $Р(А)>0$. (1)

Выразим отдельные множители согласно условиям задачи. Определим вероятность события, заключающегося в вытаскивании чёрного шара во время первого эксперимента. Так как всего шаров шесть, а белых три, то запишем для вероятности выражение:

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (2)

Продолжим вычисления и определим вероятность совместного выполнения событий А и В. Оно заключается в том, что сначала вытаскивается чёрный шар, откладывается в сторону, а затем достаётся белый шар. Определим суммарное количество результатов вытаскивания шаров не разделяя их цвет — то есть выявим общее количество всех результатов. Из комбинаторик следует, что это количество размещений $ A_6^2=6\cdot 5=30$/ То есть всего можно вытащить шары тридцатью различными способами. 

Теперь проанализируем количество результатов, при которых будет выполняться и событие А и событие В. Количество результатов $3\cdot 3=9$. Используя полученные количества результатов, можем записать:

$P(AB)=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$ (3)

Преобразуем формулу 1 в

$P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$.

И подставим в неё выражения 2 и 3. Получим:

$P_A(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}= \frac{3/10}{1/2}= \frac{3}{5} $.

Окончательный ответ: вероятность события 0,6.

Определение 5

Если выполняется $P_A(B)=P(B)$ и $P_В(А)=P(А)$ то события А и В называются независимыми.

Следствие первое теоремы умножения

Если А и В являются независимыми событиями, то выполняется следующее условие: вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

$P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B)$

Следствие второе теоремы умножения

Рассмотрим событие ВА. Согласно теореме его вероятность можно записать следующим образом:

$Р(В\cdot А)=P(В)\cdot P_В(А)$

Однако, событие АВ и событие ВА — это одно и то же событие, поэтому 

Р(АВ)=Р(ВА)

При этом:

$P(A\cdot B)=P(A)\cdot P_А(B)$

$P(В\cdot А)=P(В)\cdot P_В(А)$

А значит верно следующее выражение:

$ P(А)\cdot P_А(В)=P(В)\cdot P_В(А)$

Следствие третье теоремы умножения

Вычислить вероятность появления сразу целого набора событий можно точно так же, как и вероятность появления одновременно двух событий. Она также будет равна произведению вероятностей одного, на условные вероятности всех остальных.

$ P(A_1 A_2 A_3 … A_n)=P(A_1)\cdot P_{А_1}(А)\cdot P_{А_1 A_2}(А_3)\cdot … \cdot P_{A_1 A_2 … A{n-1}} (A_n)$

В данной формуле мы видим, что вероятность $P_{A_1 A_2 … A{n-1}} (A_n)$ вычисляется для события А, в том случае если произошли все события начиная от $A_1$ до $A_{n-1}$. Если событий, например, всего три, то для них запись примет следующий вид

$ P(ABC)=P(A)\cdot P_A(B)\cdot P_AB(C)$

При этом порядок событий не важен — выражение одинаково в любом случае, какое бы из событий не было выбрано первым или вторым.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Рассмотрим ситуацию, когда рабочий использует для сборки детали — валики. Причём три из них в форме конуса, а семь из них в форме эллипса. Из всего количества валиков рабочий сначала возьмёт один, а затем второй. Требуется найти вероятность, что первый из валиков окажется конусным, а второй эллиптическим.

Пусть событие А означает, что первый валик был конусным. Тогда для нег запишем вероятность:

P(A)=3/10

Пусть событие В означает, что второй валик был эллиптическим. Для него мы вычисляем условную вероятность:

$ P_A(B)$=7/9

Теперь согласно теореме подставляем значения и получаем выражение

$ P(АB)=P(A)\cdot P_A(B)$=(3/10)(7/9)=7/30

Получен ответ: вероятность события составляет