Прежде чем приступить к изложению теоремы сложения вероятностей, необходимо дать ряд определений.

Определение 1

Совместные и несовместные события

Совместные — это такие события, наступление одного из которых не отменяет возникновение другого. Несовместные события — такие, наступление одного из которых, однозначно исключает другое.

Определение 2

Сумма двух и сумма нескольких событий

Если имеются два события А и В, то объединение случаев, когда отдельно происходит А, отдельно происходит В, а также одновременно А и В, называют суммой двух событий — А+B.

Если рассматриваются несколько событий А1, А2… Аn, то случай появления хотя бы одно из них, называют суммой нескольких событий — А1+А2+… +Аn.

Рассмотрим случай, когда имеются два несовместных события А, В и нужно найти вероятность появления события состоящего в наступлении либо любого одного из них, либо обоих сразу, если вероятности выполнения данных событий по отдельности известны. 

Теорема сложения для несовместных событий

Вероятность того, что наступит одно из двух несовместных событий, при этом не важно какое именно из них, равняется сумме их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство теоремы

Пусть m — количество элементарных результатов эксперимента, n1 — результаты соответствующие событию А, n2 — результаты соответствующие событию В. Тогда общее количество результатов, которые соответствуют появлению либо А, либо В будет равняться сумме n1+n2. Тогда, исходя из определения вероятности можем записать следующие преобразования:

P(А+В)=(n1+n2)/m=n1/m+n2/m.

Однако, мы знаем, что выражение n1/m=Р(А) и n2/m=Р(В), поэтому в итоге получаем:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие из теоремы

При рассмотрении нескольких событий, попарно несовместных, вероятность наступления одного любого из них, а также любых нескольких же в различных комбинациях, будет равняться сумме отдельных их вероятностей.

Р(А1+А2+… +Аn)=Р(А1)+Р(А2)+… +Р(Аn).

Доказательство

Допустим, существует три события А, В, С. Согласно формулировке они являются попарно несовместными, поэтому можно сказать, что наступление события С, как одного из трёх событий, включающих по отдельности А и В — это то же самое, что наступление события С, как одного из двух событий, второе из которых — это А+В. То есть можно записать согласно теореме сложения:

Р(А+В+С)=Р(А+В)+Р(С).

Теперь аналогично поступим, разложив вероятность А+В, что согласно теореме сложения даёт:

Р(А+В+С)=Р(А+В)+Р(С)= Р(А)+Р(В)+Р(С).

При доказательстве верности следствия для любого большего количества событий попарно несовместных используется метод математической индукции.

Теорема сложения для любых событий

Определить для двух суммируемых событий их вероятность можно складывая вероятности каждого из событий по отдельности и вычитая вероятность одновременного появления событий А и В:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Проведём доказательство:

Возьмём за полное количество результатов эксперимента m. Тогда все результаты соответствующие событию А обозначим — n1. Результаты, которые соответствуют В — n2. Результаты соответствующие единомоментному проявлению обоих событий А и В сразу — n3.

Получим, что n1+n2-n3 — это все элементарные результаты эксперимента, которые соответствуют событию А+В. Определив таким образом события, получаем запись:

$P(A+В)=\frac{n1+n2+n3}{m}=\frac{n1}{m}+\frac{n2}{m}-\frac{n3}{m}$

Если n3=0, то рассматриваемые события не происходят одновременно, а значит являются несовместными и случай сводится к ранее уже рассмотренной теореме сложения.

Пример 1

Стрелок производит выстрел по мишени. Мишень разделена на три части. Вероятность попасть в первую часть составляет 0,25. Вероятность поразить вторую часть 0,35. Необходимо узнать, какова вероятность, что стрелок попадёт в мишень, но не попадёт в третью её часть. Чтобы выполнилось это условие, пуля должна поразить либо первую часть, пусть это будет событие А, Р(А)=0,25; либо во вторую часть, это событие назовём В и его вероятность Р(В)=0,35. События А и В не являются совместными, значит можно применить теорему сложения для несовместных событий. Получаем следующее выражение:

Р=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,25+0,35=0,55 — это и будет искомая вероятность.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Классическая задача о разноцветных шарах предстаёт в теории вероятности в различных изложениях. Допустим есть два ящика. В одном из них находится 1 шар белого цвета и 5 шаров чёрного цвета. В другой положили белых — 8 штук, а чёрных — 4 штуки. Теперь вынимаем из ящиков по шару из каждого. Необходимо найти вероятность, что шары окажутся разных цветов.

Пусть событие А — это когда из первого ящика вынут белый шар, тогда его вероятность:

$P(A)=\frac{1}{6}$

Обратное этому событие $\overline{A}$ — это из ящика вынули чёрный шар. Его вероятность:

$P(\overline{A})=\frac{5}{6}$

Аналогично запишем для второго ящика. Если из него достали шар белого цвета, то это событие B и его вероятность

$P(В)=\frac{2}{3}$

Если рассматривать обратное событие, то оно наступает, если из второго ящика появляется чёрный шар. Вероятность его появления можно записать следующим образом:

$P(\overline{В})=\frac{1}{3}$

Чтобы выполнить условие задачи, необходимо чтобы произошло одно любое из двух событий. Первое — из первого ящика достали белый шар, а из второго — чёрный. Второе — из первого появился шар чёрного цвета, а из второго шар белого. Записать эти события можно как $А\overline{В}$ и $\overline{A}В$. Вероятность каждого из них составит: 

$P(А\overline{В})=\frac{1}{18}$, а $P(\overline{А}В)=\frac{10}{18}$. 

Это вычисляется с помощью теоремы умножения, которая рассматривается в другом разделе, поэтому здесь мы просто принимаем вычисления как есть и сразу переходим к применению теоремы сложения. Нас интересует как применяется именно она. Таким образом, искомая в задаче вероятность будет относится к сумме двух событий:

$А\overline{В}$+$\overline{A}В$.

Для них мы можем записать:

$Р=P(А\overline{В}+\overline{A}В)= P(А\overline{В})+Р(\overline{A}В)=\frac{11}{18}$

Получаем, что вероятность вынуть из двух ящиков шары разного цвета составляет Р=0,61.